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Niveau Licence Maths 1e ann
endomorphisme continu
Posté par mickey12
Bonjour,
mon exercice: Soit (y_n) une suite bornée de nombres complexes. Montrer que :
(x_n)->(x_n.y_n) défiit un endomorphisme continu de l². Calculez sa norme.
Cauchy Scwartz donne la continuité.
x_n=y_n permet de montrer que la norme de l'endomorphisme est bien ||y_n||
Bonjour (j'espère que tu n'en as pas marre de moi!)
C'est immediat que c'est linéaire. Si la suite est bornée, et si
est convergente, c'est immédiat que
est convergente, donc c'est bien un endomorphisme.
Soit . On a
donc déjà c'est continu et
Soit maintenant la suite ayant juste un 1 à la n-ème place. Elle est bien dans
et
. On a
. Soit
. Il existe n tel que
et alors
ce qui montre que
.
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