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endomorphisme de L(E)

Posté par
Redman 30-01-07 à 19:30

Bonsoir,

soit E un Kev et g un endomorphisme nilpotent de E.
On définit Phi_g un endomorphisme de L(E) qui a tout f de L(E) associe fog-gof

montrer que Phi_g est nilpotent

merci d'vance

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : endomorphisme de L(E). 30-01-07 à 21:21

Bonjour Redman ;
Tu peux commencer par montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n :
4$\fbox{\forall f\in\scr L(E)\\(\varphi_g)^n(f)=\Bigsum_{k=0}^{n}(-1)^kC_{n}^{k}g^kofog^{n-k}} avec la convention \fbox{g^0=Id_E} (sauf erreur)

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : endomorphisme de L(E). 31-01-07 à 00:48

Ainsi si p est un entier naturel non nul tel que 2$\fbox{g^p=0_{\scr L(E)}} tu vois bien que si 2$\fbox{n\ge2p} on a 2$\fbox{\forall k\in\{0,..,n\}\\ou\{{k\ge p\\n-k\ge p} et par suite 2$\fbox{\forall k\in\{0,..,n\}\\ou\{{g^k=0_{\scr L(E)}\\g^{n-k}=0_{\scr L(E)}} et donc 4$\fbox{\varphi^n=0_{\scr L(\scr L(E))}} (sauf erreur)

Posté par
Redmanre : endomorphisme de L(E) 03-02-07 à 11:55

merci


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