Bonsoir, je butte actuellement sur un exercice. pourriez vous m'aider ?

Voici l'énoncé :

Soit f définie sur E (R-ev de dimension n≥2) par f(x)=l(a)x-l(x)a où l est une forme linéaire sur E et a appartient a E.
1) montrer que f est un endomorphisme tel que f(a)=0
2) on suppose que l(a)≠0 :
    a) montrer que si x ker(f), alors x=a et en déduir ker(f)
    b) calculer f(x) pour x ker(l)
    c) déterminer les éléments propres de f ; est-il diagonalisable ?
3) on suppose que l(a)=0 :
    a) déterminer ker(f)
    b) calculer f o f et dire si f est diagonalisable.
4) Soit u L(E), tel que u o u = 0
    monter qu'il existe une forme linéaire l et un élément de E : a, tels que u(x)=l(a).x - l(x).a

Résolution :

voici ce que j'ai fait pour l'instant : (seule la 4) me pose réellement problème)

1) f : E -> E puisque l est une forme linéraire => "endo"
    f(x+y)=f(x)+f(y) par linéarité de l => endo"morphisme"
   f(a)=0 d'après son expression

2) l(a)≠0
    a) xker(f),
f(x)=0=l(a)x-l(x)a => x=( l(x)/l(a) ).a puisque l(a)≠0
donc ker(f)R.a de plus inclusion réciproque évidente par linéarité de l
donc ker(f)=R.a
   b) xker(l), f(x)=l(a)x + 0, f(x)= l(a).x
   c) l est une forme linéaire d'un EV de dim finie, son noyaux est de dimension n-1, soit (x₁,...,x_n-1) une base de ker(l)
i[|1,n-1|], f(x_i)=l(a).x_i, donc l(a) est valeur propre pour f associée au sous espace propre Vect{x₁,...,x_n-1} de dimension n-1. De plus d'après 2)a), le noyaux de f est de dimension 1 (l(a)≠0) donc 0 est valeur propre de f associée au sous espace propre Vect{a} de dimension 1 (a≠0 puisque l(a)≠0).
On a une base de vecteurs propres, f est diagonalisable.

3) l(a)=0
    a) xker(f), f(x)=0=-l(x).a.
NB: je suppose qu'on ne traite pas le cas où a=0, puisque f=0 sous cette hypothèse.
ker(f)ker(l) et l'inclusion réciproque est évidente. donc ker(f)=ker(l)
    b) xE
fof(x)=-l(-l(x).a)).a=[l(x).l(a)].a par linéarité de l
                              =l(x).0_E.a
fof=0_L(E)
Donc, xE\{0} R tels que f(x)=x
f(f(x))=0=f(x)=²x => =0
Donc seul 0 est valeure propre, si f est diagonalisable alors c'est l'application nulle, ce qui n'est pas le cas donc f n'est pas diagonalisable

4) Je ne vois pas du tout comment faire ...

J'espère que vous pourrez m'aider. D'avance merci