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endomorphisme et matrice
Bonjour, je suis en pcsi je débué avec les matrices et j'ai du mal à mi faire
Si vous pouvez me donner quelques renseignements voilà mon exo :
Soit E un R-espace vectoriel muni d'une base B (i,j,k). On note a l'endomorphisme de E ayant pour matrice A=([1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]) (en colonne) dans la base B
1) Déterminer le rang de a. En déduire que l'image de a est un hyperplan de E ; donner une base de Im(a), puis une équation de cet hyperplan dans la base B. Donner une base du noyau de a.
Voilà mes résulats rang(a)=2 (méthode du pivot) dim(E)=3 et rang(a) = 3-1 = 2 donc Im(a) hyperplan, le vecteur (3,4,5) est combinaison linéaire des 2 autres donc la base c'est ([1,2,3],[2,3,4]) l'équation de l'hyperplan en revenant avec un système d'équation x'=x+2y+3z, y'=2x+3y+4z, z'=3x+4y+5z j'arrive à 0 = z'-2y'+x' et en regardant le travail que j'ai fait sur la matrice (3,4,5) comb linéaire j'ai 0=L3-2L2+L1 ou L1,L2,L3 colonne 1 2 3 de A
Pour la basz noyau de a complètement bloqué je ne sais pas quoi faire.
merci de votre aide
comment faire le lien avec la matrice et mon systeme d'équation pour l'équation de l'hyperplan ?
Bonjour, speedy62100
Le noyau de a est l'ensemble des vecteurs u=xi+yj+zk tels que:
donc tels que
x+2y+3z=0
2x+3y+4z=0
3x+4y+5z=0
donc tels que
x+2y+3z=0
2x+3y+4z=0 (L3 étant combinaison linéaire de L2 et L1)
donc tels que
x+2y=-3z
2x+3y=-4z
donc tels que x=z et y=-2z
donc tels que (x,y,z)=z(1,-2,1)
Le noyau est donc la droite de base u de coordonnées (1,2,-1) dans la base (i,j,k).
2) on note b le projecteur de E sur Im(a) parallèlement à Ker(a). Déterminer sa matrice B dans la base B.
Je sais que tout vecteur x de E est la somme d'un vecteur x1 de Im(a) et d'un vecteur x2 de Ker(a)
l'application b donne x1 mais relier celà à une matrice bonne question.
Désolé je suis sur que la réponse est toute simple mais voilà je débute.
Je sais que tout vecteur X de E est la somme d'un vecteur X1 de Im(a) et d'un vecteur X2 de Ker(a)
Notons X= xi+yj+zk
X1=x'i+y'j+z'k X2=X-X1=(x-x')i+(y-y')j+(z-z')k
X1 appartient à Im(a), donc:
x'-2y'+z'=0
X2 appartient à ker(a), donc:
(x-x',y-y',z-z')=t(1,2,-1)
On aura donc:
x'=x-t y'=y-2t z'=z+t x'-2y'+z'=0
Donc:
x'=x-t y'=y-2t z'=z+t x-2y+z-4t=0
Donc:
(calculs à terminer)
Donc, la matrice vaut
il y a une petite erreur x2 apartient à ker(a) : t(1,-2,1)
Je continue les calculs encore merci pour votre aide
après calcul j'ai
B=1/6.([5,1,1],[2,2,2],[-3,3,5]) (en colonne)
en refaisant les calcul je trouve B=1/6([5,2,1],[1,2,1],[-1,2,5]) (en ligne)
la question suivante c'est déterminé (sans calculer) B² et A*B et justifier AB=BA
J'ai calculé et je trouve bien AB=BA
Alors que la matrice que vous trouvez ne vérifie pas AB=BA
B²=B normal car b projecteur bob=b mais pourquoi AB=A et BA=A ?
Bien. Me revoici.
Expression de la matrice B
J'ai refait les calculs et j'obtiens:
Je n'ose plus dire que mes résultats sont justes, après les deux erreurs de calcul précédentes de ma part. J'ai vérifié que AB=BA=A avec Maple et je sais d'après le cours de Maths Spé que B est symétrique réelle.
Justification de l'égalité AB=BA=A
Il suffit donc de démontrer que a o b = b o a = a
Pour tout vecteur u de E:
b o a (u) = a(u) parce que a(u) est dans Im(a) et parce que, pour tout y de Im(a), b(y)=y
Donc, b o a = a
Soit un vecteur u de E que l'on écrit sous la forme:
u= u1+u2 avec u1 dans ker(a) et u2 dans Im(a)
On a:
a(u)=a(u2)
b(u)=u2
a o b (u) = a(u2)
Donc, a o b(u) = a(u) pour tout u de E. Donc a o b =a
j'ai tout compris !
encore merci du temps que vous avez passé
@ bientôt
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