Bonjour.

f(B^k) = B^k.B - B.B^k = B^k+1 - B^k+1 = O
Donc, pour tout k, B^k € Ker(f).

Soit P(X) = un polynôme, alors :

P(B) = : combinaison linéaire d'éléments de Ker(f).
Comme Ker(f) est un sous-espace de M_n(R), cette combinaison linéaire est dans Ker(f).

A plus RR.

Bonsoir,
J'ai un pbl pour un exo de maths.

=>soit B une matrice de E= Mn(R) (matrice n colonnes)
et f l'application définie pout tout M appartient à E par f(M)=MB-BM
(f est un endomorphisme)

on suppose qu'il existe une matrice A telle que f(A)=A.
On doit mq que f(A²)=2A²; et , en utilisant une somme télescopique, montrer plus generalement que f(A^k)= k(A^k) et en deduire qu'il existe k appartenant à N tel que A^k=0.

Voila, merci pr vos reponses

*** message déplacé ***

Bonsoir
Si c'est la suite de l'autre, pourquoi ne le postes tu pas à la suite ?

*** message déplacé ***

C'était pour avoir plus de chances d'avoir une réponse.

*** message déplacé ***

oui, mais souvent les questions précédentes mettent sur la voie, et ceux qui ont commencé à t'aider ont l'exercice bien en tête ...

*** message déplacé ***

Oui c'est vrai. Dsl.

*** message déplacé ***

Montrons par récurrence
C'est clairement vrai pour .
Supposons que pour un certain on a alors ,
en multipliant à gauche par on a
ou encore
et comme on a
c'est à dire
ce qui achève la récurrence.
Maintenant il faut remarquer que étant un endomorphisme de qui est un -espace vectoriel de dimension finie le spectre de (c'est à dire l'ensemble de ses valeurs propres) est fini les ne peuvent donc être tous non nuls car cela voudrait dire que tout entier naturel non nul est valeur propre de ce qui est exclu (sauf erreur bien entendu)

*** message déplacé ***