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Endomorphisme-Matrice compagnon.
Bonjour ! 
E un 
-eV, dim(E)=p, B=(e1,...,ep) base de E.
P=a0+a1X+...+ap-1Xp-1+Xp un polynôme à coefficients dans .
On définit un endomorphisme f de E par ces relations :
_ f(e1)=e2, f(e2)=e3,...,f(ep-1)=f(ep),f(ep)=-a0e1-a1e2-...-ap-1ep.
Quand Q=b0+b1X+...+bnXn
, on pose : Q(f)=b0IdE+b1f+...+bnfn, avec fi=f°f°...°f (i fois).
1) Trouver la matrice de f dans la base B. On dit que cette matrice est la matrice compagnon associée à P.
>>> Là, c'est ok.
2) Q(f)°f=f°Q(f)? Calculer P(f)(e1).
Montrer que P(f)=0L(E)
>>> En revanche ici, je bloque : P(f)(e1)=0 nan?
Merci beaucoup 
Bonjour
Oui. Le but est de démontrer que P(f) est la fonction nulle (c'est une démonstration possible du théorème de Cayley-Hamilton)
Bonjour Camélia et Poun
Camélia : je préfère répondre à ton bonjour ici plutôt qu'au travers de tous ces messages contradictoires du côté lycée concernant un tableau de signes.
Je voudrais aussi te parler de ce sujet concernant les hyperplans de L(E) en dimension quelconque. Je ne sais pas trop par où commencer. Il me semble qu'il faudrait supposer l'existence d'un hyperplan H ne contenant aucun inversible et étudier la droite vectorielle L(E)/H. Peut-être envisager l'idéal engendré par H ou la sous-algèbre engendrée par H et passer au quotient pour se ramener à des structures faisant intervenir la composée des endomorphismes (anneau ou algèbre).
Cela me rappelle la théorie des caractères : ces formes linéaires u telles que u(x.y) = u(x).u(y).
Malheureusement, dans Dieudonné, ils ne sont mentionnés que dans le cas des algèbres commutatives.
As-tu d'autres idées ?
A plus RR.
mais j'ai du mal à calculer P(f)(e1), c'est idiot mais je peux pas écrire "a0e1" par exemple ?
Merci!
ah nan c'est bon, je crois avoir trouvé par contre je solliterai peut être votre aide plus tard^^
bye
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