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Endomorphisme normal
Bonjour à tous, je suis nouveau ici et je cherche de l'aide pour un dm.
Voila mon problème :
Soit E un espace euclidien de dim finie n. Fixons un endomorphisme normal u.
La première partie consistait à démontrer que si F était sous espace stable par u, alors F orthogonal est stable par u également. Cette partie je pense avoir réussi l'essentiel.
Partie 2 :
a) Montrer que u admet un sous espace stable de dimension 1 ou 2.
J'ai démontré ça en passant par la décomposition du polynôme caractéristique.
b) Montrer qu'il existe une décomposition E = E1 + E2 + ... + Ep en somme directe orthogonale telle que la dimension des sous espace Ek sont soit 1 soit 2.
C'est la que je bloque...
c) Montrer que si n = 2 et u normal, u est soit symétrique soit antisymétrique.
Ici j'ai des idées pour montrer qu'il peut être symétrique mais c'est tout
Merci beaucoup d'avance pour votre aide.
A bientot.
Bonjour et bienvenue sur l'ile 
Pour 2 b) c'est une simple récurrence. Tu as déjà un sous-espace stable par 2 a) et son orthogonal est tout aussi stable, mais de dimension < inférieure à l'espace de départ...
Merci Camélia je vais essayer ça.
Je n'avais pas du tout pensé à la récurrence.
Je te tiens au courant de mon avancement.
Ok ça marche très bien (enfin ça m'a l'air censé ce qui est différent...)
Sinon pour le c), si dim du sous espace stable est 1, la matrice est symétrique mais si la dimension vaut 2 ? Je vois pas pourquoi antisymétrique...
2 non diagonalisable.
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