voila mon idée

(P_n)=(X²+X)P_n"+(2X+1)P_n'

or on veut (Pn)=n(n+1)Pn

d'ou (X²+X)P_n"+(2X+1)P_n'=n(n+1)Pn
     (X²+X)P_n"+(2X+1)P_n'-n(n+1)Pn=0

on reconait une équation différentielle mais le problème sont les coefficient polynomiaux et le coefficent n(n+1) qui n'est pas un polynome. Je me demande si il s'agit bien d'une équation différentielle et si oui est-il possible de prouver l'unicité de la solution et le coefficient dominant de la solution ( aussi je ne suis pas sur que les solutions soit des polynomes

Salut!

La solution doit etre un polynome. C'est ce qu'on cherche...

Deux propositions pour te faire reflechir et avancer:

1/ ecrire Pn sous la forme a_kX^k
En deduire un systeme d'equation sur les a_k
Voir ce que ca donne et si on arrive a trouver Pn sous forme "explicite", ou bien si la definition des ak montre que le polynome existe et qu'il est unique.


2/ (alternative)
Si tu sais ce qu'est une valeur propre et un polynome caracteristique, alors tu peux ecrire la matrice de l'endomorphisme "delta" dans la base canonique de En. Et calculer son polynome caracteristique. tu devrais voir n(n+1) apparaitre comme valeur propre d'ordre de multiplicite algebrique 1. Et hop.



Cela dit, bon, j'a'\i pas verifie dans le detail. l'essentiel c'est d'avoir des pistes, non??
A+
biondo

peut tu donner plus de précision sur ta 2° alternative svp

La base canonique de En ce sont les X^k

Je calcule
Dn(X^k) = k(k-1)X^(k-2).(X^2+X) + (2X+1).kX^(k-1)
        = k(k-1)X^k + k(k-1)X^(k-1) + 2kX^k + kX^(k-1)
        = k(k+1)X^k + k^2.X^(k-1)


La matrice de Dn dans la base canonique de En est donc une matrice avec des zeros partout, sauf sur la diagonale et la surdiagonale. Ses valeurs propres sont les coefficients diagonaux. En particulier, n(n+1) (le dernier coeff diagonal) est valeur propre d'ordre de multiplicite 1 (car les k(k+1) sont distincts). Donc il existe un vecteur propre associe (voir le cours sur la reduction des endomorphismes).

Sauf erreur.

biondo

ok je crois avoir compris ,P_n et le vecteur propre associé à n(n+1) et il est unique car l'ordre de multiplicité est 1

c'est bien ca??

help svp
j'y arrive pas le système n*n me pose trop problème et la 1° facon de faire me donne un mauvais résultat

Pn est effectivement un vecteur propre associe a la valeur propre n(n+1).
Attention, l'unicite est assuree par la condition supplementaire qu'on impose a Pn, qui est d'avoir son coefficient dominant  egal a 1.

En effet, a priori si Q est un vecteur propre associe a la vp n(n+1), alors n'importe quel vecteur a.Q, ou a est un scalaire, est aussi vecteur propre. Mais avec le coefficient dominant qui doit etre unitaire, on assure l'unicite de Pn.

C'est quoi ton systeme n*n???

pour trouver Pn je cherche vect(E_n(n+1)) sous espace propre associé à n(n+1) et c la que je suis confronté a mon système n*n:             vect(En(n+1))={P/ M*Pn=n(n+1)Pn} avec M la matrice de _n

tu vois quelle mon problème??

Ah d'accord.
A noter que cela revient a faire la methode 1/ que je t'ai proposee...

L'interet de la deuxieme methode, c'est de montrer l'existence et l'unicite du polynome sans avoir a le calculer explicitement.

Les theoremes sur le reduction des endomorphismes et les valeurs propres et sous espaces propres et tout le reste te donnent l'existence. Tu ajoutes le coeff dominant egal a 1, et tu as l'unicite. Et voila. Pourquoi chercher en plus a calculer le polynome?

parceque dans la question suivante on me demande l'exprimer en fonction d'un autre polynome

t'a une idée pour exprimer Pn?

Il faut l'exprimer en fonction de quel autre polynome?

en fonction de Q(X)=[(n+k)!/(n-k)!(k!)²]X^k

k allant de 0 à n

tu trouve pas?

tu trouve pas?

Si si.

Il suffit de calculer Dn(Q):

APres un peu de manipulation, on trouve que Dn(Q) = n(n+1)Q


Autrement dit, Q est vecteur propre de l'endomorphisme pour la valeur prore n(n+1). Comme le sev propre associe est de dimension 1, et que Pn est donc un vecteur generateur de ce sev, Q et Pn sont lies.

Il suffit de regarder le coefficient dominant de Q (qui est C2n,n) pour voir que

Pn = 1/C2n,n . Q


Je n'ai donc pas eu besoin de calculer explicitement Pn, puisque l'enonce me le sert (quasiment) sur un plateau.

je ne comprend pas ta notation C2n,n

est-ce que c ou ?

C'est le nombre de combinaisons de n elements parmi 2n.

Soit (2n)!/(n!)^2
Dsl.