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endomorphisme symétrique ...
Bonjour à tous 
Je révises pour les oraux et j'ai quelques difficultés avec cet exercice. Pouriez-vous m'aider ?
Enoncé
Soit E un IR-espace vectoriel euclidien de dimension n 
1.
Soit u un endomorphisme symétrique de E
1°) Si p est un entier naturel impair, montrer qu'il existe un unique endomorphisme symétrique v de E tel que vp = u
2°) Si p est un entier naturel pair, le résultat est-il le même ? Conclure.
3°) Qu'en est-il si u 
S+(E) ?
4°) Qu'en est-il si u et v appartiennent à S+(E)
Ce que j'ai fait :
Je suis parti de la conséquence du théorème Spectral et j'ai donc dis que A, la matrice de u dans la base canonique est diagonalisable par le groupe orthogonal. Mais je ne vois pas comment avancer ...
Merci d'avance pour votre aide 
Salut Romain
Pour la première, il faut effectivement partir comme ça.
Ensuite, intéresse-toi à la matrice diagonale que tu peux manipuler plus facilement.
Kaiser
En parlant des concours, bilan plutôt optimiste ou alors pas de commentaires pour l'instant ? (d'ailleurs, les résultats c'est dans environ 3 semaines, c'est ça ?)
Kaiser
ah oui, autre chose : je ne pense pas que l'on puisse parler de base canonique pour un espace vectoriel de dimension finie quelconque. En effet, base canonique signifie une base qui apparaît naturellement (par exemple pour ou
)
Encore autre chose : il faut considérer la matrice de u dans une base orthonormée, il me semble pour pouvoir la diagonaliser dans une base orthonormée). En effet, la matrice de passage, si elle est orthogonale, fait correspondre deux bases orthonormées.
Kaiser
Salut Kaiser 
Alors voila ce que j'ai fait.
Notons A = Mat(bc) (u) et B = Mat(bc) (v)
Comme A est symétrique, il existe Q O(n) tq t(Q).A.Q = D
Avec D une matrice diagonale qui porte les valeurs propres de A.
Donc comme on cherche c tq vp = u , on a Bp = A donc :
t(Q).Bp.Q = D
Donc Si je note C = t(Q).B.Q, j'ai Cp = D
Mais de là, comment en déduire que C est diagonale ?
De plus, je ne vois pas où intervient l'utilisation de p pair et p impair.
En ce qui concernes les concours dans l'ensemble ça s'est plutôt bien passé, sauf la première épreuve de math à central : 
(et toi au fait ton concours interne à l'ENS ?)
Romain
ah oui, autre chose : je ne pense pas que l'on puisse parler de base canonique pour un espace vectoriel de dimension finie quelconque.
Au temps pour moi
Encore autre chose : il faut considérer la matrice de u dans une base orthonormée, il me semble pour pouvoir la diagonaliser dans une base orthonormée). En effet, la matrice de passage, si elle est orthogonale, fait correspondre deux bases orthonormées.
Ca je suis d'accord, mais dans mon erreur, j'ai considéré en fait la matrice Q comme la matrice de passage de la bc (qui est orthonormée) à la base orthonormal constitués de vecteurs propres de A (qui est elle aussi orthonormée)
ah mais c'est pas du tout sûr que cette matrice soit diagonale. Il faut que tu en exhibe une.
et toi au fait ton concours interne à l'ENS ?
je suis admissible !
Kaiser
je suis admissible !
Genial
Oui tu as raison, je dois en exhiber une ... Mais je ne vois pas !
Un indice (si tu as?)
cherche C diagonale pour que ça marche
Si u
S+(E),
Si a1,a2,...,an sont les valeurs on peut prendre :
C = diag((a1)^(1/p),...,(an)^(1/p))
Mais si u
S(E) je ne vois pas comment faire ...
Et même, ça ne me parait pas très rigoureux !
Ah Ok je commence à cerner le truc. Donc on reprend :
u S(E)
Notons a1,a2,...,an les valeurs qui sont donc quelconque.
On a Cp = D = diag(a1,...,an)
p est impair donc il existe q dans IN tq : p = 2q+1
C2q+1 = D
Mais (je dois être bête) je ne vois pas comment continuer puisque les valeurs propres ne sont pas positives donc on ne peut pas passer à une racine pème ...
Pour la rigeur en fait je n'ai rien dis
alors, ne parle pas de C dès le début.
C'est à la toute fin où tu dis "on pose C=".
Sinon, comme précisé p est impaire donc tout réel possède une racine p-ième (qui est réelle)
Kaiser
Ok je vois, en fait c'est tout bête !
C'est pour cela qu'a la question 2, ça ne marche pas, car si p est pair, tout réel ne possède pas forcément une racine p-ième.
Donc à la question 3 quand u est dans S+(E) pas de pb normalement puisque toutes les valeurs propres sont positives ou nulle.
Je ne vois donc pas l'intéret de la question 4 qui ajoute v dans S+(E) 
oui, effectivement à la question 2, ça bloque.
dans la question on impose à v d'être positif, ce qui n'est pas le cas des questions précédentes.
Kaiser
Oui tu as raison. Mais si je ne me trompes pas :
u positif => v positif
Car C = diag(c1,...,cn) avec tous les ci positifs ou nuls.
Ainsi B donc v est positif
Non ?
Au fait :
sinon, dans l'épreuve qu'es-ce qui t'a posé des problèmes ?
C'est en grande partie la partie 3 : " l'epicycloïde "
Mais aussi la première question du problème. J'ai l'impression que c'était une des questions les plus difficiles (je me trompe peut-être)
si p est impair oui mais pas si p est pair (on aura le choix du signe pour les valeurs propres)
Kaiser
Ah en effet !! Merci Kaiser j'ai tout compris.
Encore une fois, merci pour ton aide !!
J'ai bloqué sur des petits détails ...
Oui je l'ai remarqué aussi !
Donc pour l'unicité. Je suppose qu'il existe v et w tq vp = wp = u
Avec p impair.
A = Mat(u)
B = Mat(v)
H = Mat(w)
On a donc en reprenant les notations précédentes.
t(Q).A.Q = D = diag(a1,...,an)
Donc :
t(Q).Bp.Q = D = diag(a1,...,an) et t(Q).Hp.Q = D = diag(a1,...,an)
Soit :
t(Q).Bp.Q = t(Q).Hp.Q <=> t(Q).(Bp-Hp).Q = 0
Bp-Hp est semblale a la matrice nulle donc est nulle.
Ainsi : Bp = Hp donc B = H car p impair
C'est bon ?
non on ne peut pas faire ça comme ça (surtout ta conclusion, n'oublie qu'on travaille avec des matrices).
De plus, tu n'as pas montré que la matrice de passage était la même.
Kaiser
oui tu as raison, mais comme j'ai voulu compliquer je continu :
Pourquoi la matrice de passage n'est pas la même ?
On se base sur les valeur propre de A, je n'ai fait que remplacer par l'hypothèse.
Mais bon, de toute façon, c'est vrai que l'on a directement Bp = Hp
Je ne vois pas comment conclure. En repassant aux éléments génériques ?
Pourquoi la matrice de passage n'est pas la même ?
pour l'un on peut prendre un vecteur propre et pour l'autre son opposé.
et si par exemple, il y a une valeur propre double, on peut permuter les vecteurs propre ou tout simplement remplacer ces vecteurs par une combinaison de ces vecteurs.
bref, il n'y a pas unicité de la matrice de passage.
sinon, qu'entends-tu par élément génériques ? (éléments propres ?)
Kaiser
Ok je vois ...
Sinon par élément générique j'entend les coefficients de la matrice.
Bref, je pensais que j'allais conclure rapidement avec cette histoire d'unicité, mais en fait non :D
Je dois y aller
je repasserai dans la soirée. Merci déjà pour ton aide (et le fait d'avoir supporté toutes les anneries que j'ai pu sortir : les "vacances" ne m'ont pas réussi de ce point de vue là!)
Peut-être à ce soir alors ...
en fait, on raisonne à l'envers : on prend une matrice solution et on la diagonalise. on montre ensuite que les vecteurs propres de cette matrice sont des vecteurs de la première matrice.
Ensuite, ...
Kaiser
Je suis de retour.
oui donc je suis ton indication. En ce concentrant sur v une solution du problème.
Comme v est symétrique, il existe P O(n) tq t(P).B.P = T = diag(t1,...,tn)
Par contre, comment montrer que les vecteurs propres de cette matrice sont des vecteurs de la première matrice ?
Et comment faire intervenir w pour montrer l'unicité ?
(ça fait beaucoup de questions )
J'y ai réfléchi, mais je ne vois pas ou tu veux me mener ...
en fait, on ne va pas prendre 2 solutions et montrer qu'elles sont égales mais on va montrer que si on a une solution, alors forcément on n'a pas le choix.
Sinon, considère X un vecteur propre de B pour une certaine valeur propre a, que vaut AX ?
Kaiser
Désolé pour le retard, j'étais parti manger
sauf erreur :
A.X = Bp.X = Bp-1.(B.X) = a.Bp-2.(B.X) = ... = ap.X
Sauf erreurs ...
sauf erreur () tu as le droit de manger tout de même non ?
oui c'est bien ça et donc qu'en déduit-on ?
Kaiser
On en déduit que si a est valeur propre de B associée au vecteur propre X alors ap est valeur propre de A.
Enfin plus précisement ce que tu voulais démontrer 
en fait, on raisonne à l'envers : on prend une matrice solution et on la diagonalise. on montre ensuite que les vecteurs propres de cette matrice sont des vecteurs de la première matrice.
Ensuite, ...
merci pour ton aide
Reste à remplir ce " ensuite "
:D
considère une base B qui diagonalise la matrice solution.
d'après ce que l'on vient de voir, qu'en déduis-tu ?
Kaiser
D'après ce que l'on vient de voir, on en déduit que la nouvelle base, constituée des vecteur propre est unique. Ce qui conclut notre recherche !!
T'es trop fort
justement non, la base des vecteurs propres n'est pas unique (voir mon message de 15h38).
De plus, ce n'est pas encore terminé : il reste à dire 2 ou 3 choses !
Kaiser
Pfff et après ça veut avoir Centrale ... une vrai quata ! 
En effet, j'ai encore dit une annerie.
Je réfléchis
D'après ce que l'on vient de voir, si je considère une base B qui diagonalise v alors cette base diagonalise aussi u ...
oui c'est bien ça : en effet, tout vecteur de B est un vecteur propre de u et comme c'est une base alors B diagonalise u.
Du coup, on vient de montrer quelque chose d'intéressant : u et v sont diagonalisables dans la même base.
Je te laisse continuer en utilisant les matrices.
Kaiser
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