Bonjour, spirale.
R_0[X] est de dimension 1.
Les matrices de g et lambda Id dans une base de R_0[X] sont des matrices 1 x 1.
Notons    M(g)= (mu)

g^2 = lambda Id    si et seulement si    mu^2=lambda

L'équation   mu^2 = lambda   admet une solution dans R si et seulement si    mu >= 0

Merci beaucoup! Je vais essayer de faire la question 2.

J'ai essayé de montrer la question 2 par récurrence mais je n'arrive pas à montrer l'hérédité...

Pour te donner une indication, j'ai besoin de savoir quel est ton niveau d'étude (je suppose que c'est Maths Sup, mais je n'en suis pas sûr). Ce que j'ai besoin de savoir, c'est si tu connais le théorème:

Ce qui veut dire que Im u et Ker u sont stables par v et Im v et Ker v sont stables par u? Je connais ce théorème, et je suis en Maths Sup

"Sous-espace propre de u" ne signifie pas  ker u ou Im u. Mais le théorème que tu connais va permettre de donner une solution assez courte.

Supposons l'existence de g endomorphisme de R_n[X] tel que g^2 = lambda Id + D.

On a alors:

g o D = g o (g^2 - lambda Id) = (g^2 - lambda Id) o g = D o g
(o désignant la loi de composition des applications).

Donc, g et D commutent. Donc, ker D, qui est égal à R_0[X] est stable par g. La restriction de g à R_0[X] est alors un endomorphisme g_0 de R_0[X] tel que   g_0^2= lambda Id + D  (du moins la restriction de lambda Id + D à R_0[X]). La question précédente a montré que ceci était impossible lorsque lambda est négatif.

Donc, contradiction. CQFD