Bonsoir.

J'écris e = Id_E

(u-e)² = O <=> u² - 2u + e = O <=> u.(2e - u) = (2e - u).u = e

je ne vois pas trop ou vous voulez en venir une fois que j'ai cela ? ?

merci beaucoup ^^

u.v = v.u = e signifie que v = u^-1

Donc, ici, u^-1 = 2e - u.

Bonsoir

Avec la dernière égalité de Raymond tu en déduis facilement le noyau de u non?

Désolé Raymond je te croyais non connecté

Bonsoir Nightmare.

Ce n'est pas grave du tout, au contraire. C'est souvent plus agréable de se croiser dans un même topic. On se sent moins seul !

Ker(u) = 0 non ? donc u est injective, soit u bijective >> c'est un automorphisme

merci

Effectivement Ker(u) est réduit au singleton {0} (ne pas oublier que c'est un ensemble et non un élément)

u est un endomorphisme injectif, donc surjectif, donc c'est un automorphisme et hop.

ok! merci ..

et pour la deuxième question .. pouvez vous m'éclairer svp ?

Considère y dans Im(u-e) : il existe x tel que ...

Ensuite, calcule (u-e)(y).

mais a partir de quelle expression est ce que je peux calculer (u-e)(y) ??

y € Im(u-e) => il existe x € E tel que y = (u-e)(x).

Alors, (u-e)(y) = (u-e)((u-e)(x)) = (u-e)²(x) = 0 (puisque (u-e)² = O).

Or, (u-e)(y) = 0 signifie que y € Ker(u-e).

Donc Im(u-e) Ker(u-e)

pour la 2b . dim E = dim im(u) + dim ker(u)
de plus dim E = 3 ..

mais comment en déduire que im(u-ide)=ker(u-ide) ??

merci beaucoup !!

Dans ton énoncé initial, tu donnes dim(E) = 2. Quel est la bonne valeur pour dim(E) ?

excusez moi .. c'est bien  dim E = 2

u étant différent de e, u-e est non nul, donc Ker(u-e) est strictement inclus dans E. Par ailleurs, (u-e)² = O signifie que u-e n'est pas inversible, donc Ker(u-e) n'est pas réduit à {0}

Donc 0 < dim(Ker(u-e)) < dim(E)

Si dim(E) = 2, la seule possibilité est dim(Ker(u-e)) = 1.

Finalement, dim(Im(u-e)) = dim(E) - dim(Ker(u-e)) = 1.

L'inclusion et l'égalité des dimensions donnent Im(u-e) = Ker(u-e).

je vous remercie ^^

bonne soirée !!

Heureux d'avoir pu t'aider.

A plus RR.