Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Endomorphismes
Bonjour, comment montrer que, dans le cas ou f et g sont deux endomorphismes de E:
Ker(gof)=Ker(f) equivaut Ker(g) Inter Im(f) = {OE}
Et
Im(gof)=Im(g) equivaut a Ker(g)+ Im(f) = E
Merci de votre aide!
Bonsoir pupil
Ce genre d'exo n'est pas très difficile si l'on procède méthodiquement.
Montrons la première équivalence.
Supposons que
soit x un élément de .
On sait alors que g(x)=0 et qu'il existe y dans E tel que x=f(y)
donc (gof)(y)=0, et donc y est dans le noyau de gof, lequel est égal au noyau de f, d'où x=f(y)=0.
Réciproquement, supposons que l'intersection soit réduite au vecteur nul.
L'inclusion est évidente.
Montrons alors l'inclusion inverse.
Soit x tel que (gof)(x)=0.
Ainsi, f(x) est dans le noyau de g. De manière évidente, f(x) est dans l'image de f, donc par hypothèse f(x)=0 et donc x est dans le noyau de f.
kaiser
Ah oui merci! je croyais devoir utiliser les dimensions...
Bonjour;
Je montre l'équivalence
Soit
comme
on a aussi
d'où
tel que
c'est à dire tel que
en posant
on voit que
ce qui prouve que
l'autre inclusion étant évidente le résultat souhaité est acquis.
Soit
et
tel que
on sait que
tels que
et ainsi
c'est dire que
ce qui prouve que
l'autre inclusion étant évidente le résultat souhaité est acquis.
Sauf erreurs bien entendu 
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac