Salut !

c'est un grand classique, et l'hypothese "f²=Id" est totalement inutile.

décompose f en f=s+a, avec s symétrique et a antisymétrique, et montre que s est nul (en prouvant par exemple que pour tous x, <s(x)|x> = 0 )

Je ne vois toujours pas le rapport.
J' ai montre que <s(x);x>=0 mais apres je ne vois pas comment en deduire que s=0

la ca depend un peu de ce qu'il y a dans ton cours.


exemple, on peut dire que la forme quadratique associé a la matrice de s est nul (c'est justement la forme quadratique x->(s(x)|x) ), donc s est nul.


on encore, s est symétrique donc diagonalisable en base orthonormé, soit v une valeur propres et x le vecteur propres associé, on a: (s(x)|x) = v*|x|² =0 donc v=0, et comme s est diagonalisable avec toutes ces valeurs propres nul s=0.



tu peut aussi savoir que pour une application symétrique, le sup de s(x)|x sur la boule unité vaut la norme triple, et donc que la norme triple de s est nul.


etc etc...

Merci
C'etait pas tres evident pour moi.

quand je dis "grand classique" ca veux pas forcement dire que c'est facile hein ^^ ca veux dire qu'il vaut mieux retenir la solution parceque tu le revera surement ! (voir meme tu pourait avoir bessoin d'utiliser ceci comme un passage intermédiaire d'un autre exo )

Bonjour!

Je ne pense pas que l'hypothèse soit si inutile que cela, elle permet de montrer l'équivalence simplement :

En supposant que :


Puis,



D'où l'implication d'une matrice antisymétrique.

Dans l'autre sens on aurait aussi,



D'ou l'équivalence

Bonjour à tous

est-ce qu'on ne peut pas reprendre l'idée de sidy, c'est-à-dire montrer que , en remarquant que pour tout x et y, on a ? Ensuite, on développe le tout et c'est fini (enfin, il me semble).

Kaiser

*Oups



C'est mieux! ^^

Dadsy, tu utilise ou que f²=-Id.

la réciproque je la prouve dans ma methode :

si f*=-f, donc imédiatement (f(x)|x) = -(x|f(x)) d'ou (x|f(x))=0

en fait  f^2=- Id c'etait pour montrer que f etait un automorphisme orthogonal ce qui est trivial vu que:
f*=-f=f^(-1)