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Endomorphismes d'une matrice
Bonsoir! J'ai un exercice qui me bloque
Alors voilà on me donne une matrice A et la question
est de reconnaitre l'endomorphisme associé a cette matrice
A = 1/9( 8 1 -4
( -4 4 -7
( 1 8 4)
Bonsoir,
Il s'agit d'une matrice orthogonale de déterminant 1 (car la famille formée par les vecteurs colonnes de cette matrice forme une base orthonormée directe).
Puisqu'on travaille dans R3, il s'agit de la matrice d'une rotation.
L'axe se détermine en résolvant AX=X.
La trace donne le cosinus de l'angle.
Et le signe du sinus de cet angle se détermine en prenant un vecteur orthogonal à l'axe de la rotation et en calculant le produit vectoriel entre ce vecteur et son image par la rotation.
Bonsoir,
As-tu étudié les matrices orthogonales? A quels types d'endomorphismes sont-elles associées?
Je prends X(x,y,z)
Je cherche à resoudre AX=X!
j'ai
(x)( 8 1 -4) (x)
(y)(-4 4 -7)=(y)
(z)( 1 8 4) (z)
j'ai un système mais comment continuer ?
Attention c'est AX et non XA !
Effectue ce produit matriciel. Tu obtiens un système de trois équations à trois inconnues x, y et z que tu dois pouvoir résoudre 
J'obtient :
8/9x + 1/9y -4/9z = x
-4/9x +4/9y -7/9z = y
1/9x + 8/9y + 4/9z = z
J'ai compris ou je suis paumé ? 
Soit X=(x,y,z).
AX=X ssi (x=-3z et y=z) ssi X appartient à Vect(-3,1,1).
L'axe de la rotation est donc la droite vectorielle engendrée par le vecteur d(-3,1,1).
Attention, je n'ai pas dit que la trace était égale au cosinus de l'angle de la rotation. J'ai dit que le calcul de la trace nous permet d'obtenir le cosinus de l'angle.
Que vaut la trace d'une rotation dans l'espace ? La trace étant invariante par changement de base, son calcul dans une base adaptée peut aider...
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