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Endomorphismes et Matrices
Bonjour! Voici l'énoncé de mon problème:
Soit A
M2(
) et pour tout M M2()
Soit 
(A) et des endomorphismes de M2() :
(A) : M 
AM-MA
: A (A)
Mon but est de trouver Ker() puis d'en déduire son rang.
Mes recherches pour résoudre la question :
J'ai d'abord essayé de trouver Ker() :
Ker() ={AM2() | (A)= 0}
Ainsi, il faut trouver, pour tout MM2() :
AM-MA = 0 ainsi AM=MA
pour que le produit soit commutatif, il faudrait que A=I2
Je ne vois pas comment trouver Ker() à partir de ce que j'ai énoncé...
Sinon, une fois Ker() trouvé, j'ai pensé à utiliser le théorème du rang pour trouver ce dernier :
dim(M2())=dim(Ker)+ rg()
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avoir lu mon message.
Bonsoir,
il me semble que n'est pas un endomorphisme de M2() mais une application de M2() dans l'ensemble L(M2()) des endomorphismes de M2().
Bonsoir,
il me semble que
n'est pas un endomorphisme de M2() mais une application de M2() dans l'ensemble L(M2()) des endomorphismes de M2().En effet! Vous avez raison.
: M2() L(M2())
Les matrices qui commutent avec tout M sont les homothéties.
Si je comprends bien, A
I2
Ainsi Ker(
)=I2 ?
Bonsoir 
cla241541 ou voit bien que (pour toute matrice
de
et donc
et on a aussi et donc
si la famille est liée c'est à dire si
l'endomorphisme
est nul et donc
si la famille est libre c'est à dire si
on a
et donc (par le théorème du rang)
.
Une manière pour déterminer (d'une façon précise) est de poser
puis écrire la matrice de l'endomorphisme
dans la base canonique
de
si mes calculs sont bons on trouve et on a du coup
et comme on a
... je te laisse alors conclure !
sauf erreur de ma part bien entendu
Je viens de m'apercevoir que j'ai répondu à côté 
C'est le rang de qu'on cherche à déterminer et non celui de
Néanmoins on a montré que si on a
et donc à fortiori
n'est pas l'endomorphisme nul de
et ainsi si et seulement si la famille
est liée
et donc et donc
...
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