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endomorphismes et opération rond

Posté par
jeannebl
11-04-22 à 20:28

Bonjour à tous, j'ai le sujet d'un exercice avec la bonne copie d'un étudiant mais j'ai quelques questions sur ce dernier ; voici l'énoncé :

Soit E un espace vectoriel réel.
On note e l'endomorphisme identité de E.
Pour tout g de L (E) , on note g0 = e , g1 = g et pour n ≥ 2 , gn = gn-1 o g.
Soit p et q deux éléments non nuls de L(E) tels que : p + q = e.
Soit a et b deux réels distincts et non nuls
Soit f ∈ L (E) tel que : f = a.p + b.q et f2= a².p + b².q
1°) a) Montrer que : (f - a.e) o (f - b.e) = (f - b.e) o (f - a.e) = 0 et f - a.e = (b - a).q. et f - b.e = (a - b).p

(réponses de l'étudiant) :
1) (f - a.e) o (f - b.e) = f(f(x) - be(x)) - a(f(x)-be(x)) = f²(x) -bf(x) - af(x) + abe(x)
que représente finalement vraiment l'opération rond ? est-ce une multiplication entre deux 'applications' et donc on aurait directement pu développer la dernière égalité écrite (comme en double distributivité) ?
Ou bien aurait-on pu 'remplacer les inconnus par (f-be) dans l'application (f-ae)' ? mais quelles inconnus ? : je dis ça en pensant à, pour une fonction f (f = 2x admettons) : f°f^-1(x) = f[f^-1(x)] = 2f^-1(x) .... sinon qu'est ce qui diffère entre le "rond des applications" et le "rond des fonctions" ?
Aussi, le prof a entouré les x sur la copie : donc aurait-il fallu écrire : f(f-be) - a(f-be) : précisément parce qu'il n'y a pas de x comme c'est une application linéaire ?
Enfin, pour passer de : (f-ae)°(f-be) à f(f(x) - be(x)) - a(f(x)-be(x)) : l'étudiant "fait disparaitre" le e : car c'est l'endomorphisme identité ? Donc aurait il été tout de même correct d'écrire en étape intermédiaire : f(f-be) - ae(f-be) ? Et pourquoi dans son cas il n'enlève pas les e de be : est-ce interdit d'écrire : f(f-b) - a(f-b) ?

Désolée pour ces questions assez confuses :/

Posté par
carpediem
re : endomorphismes et opération rond 11-04-22 à 21:15

salut

l'opération "rond" est simplement la composée de deux applications/fonctions

par exemple dans R si u(x) = 2x + 3 et

v(x) = x^2 alors f = v o u signifie que f(x) = v[u(x)] = (2x + 3)^2
v(x) = \sqrt x alors f = v o u signifie  f(x) = v[u(x)] = \sqrt {2x + 3}  (sous réserve d'existence bien sûr)

une remarque pour le corrigé : si e est l'identité alors e(x) = x ...

ensuite il ne faut pas oublier la variable :

Citation :
(f - a.e) o (f - b.e)(x) = f(f(x) - be(x)) - a(f(x)-be(x)) = f²(x) -bf(x) - af(x) + abe(x) = f^2(x) - (a + b)f(x) + abx

Posté par
carpediem
re : endomorphismes et opération rond 11-04-22 à 21:17

ou alors ne pas mettre de x nulle part :

Citation :
(f - a.e) o (f - b.e) = f o (f - be) - a(f-be) = f o f - bf - af + abe

Posté par
jeannebl
re : endomorphismes et opération rond 11-04-22 à 21:25

Ok super, (encore une fois) un grand merci !

Posté par
carpediem
re : endomorphismes et opération rond 11-04-22 à 21:31

de rien



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