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endomorphismes orthogonaux
Bonjour, pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice:
Soit E un euclidien de dimension x
1, dont on note <,> le produit scalaire et ll . ll la norme.
Un endomorphisme f de E est appelé similitude s'il existe k > 0 tel que 
E, llf(x)ll= k ll ll ; la similitude est dîte directe si det f>0. on désigne par GO(E) l'ensemble des similitudes et par GO+ (E) l'ensemble des similitude directes.
NB: ll = la norme
1/ Montrer que GO(E) est un sous groupe de GL(E) et que GO+(E) est un sous groupe de GO(E)
Je vous remercie d'avance pour votre aide 
Bonsoir chachoutte
Par définition, que faut-il montrer pour affirmer qu'on a un sous-groupe ?
Kaiser
bonsoir kaiser,
pour montrer que GO(E)est un sous-groupe de GL(E),il faut montrer que:GO(E)GL(E);IdeGO(e),puis si (f,g)(GO(E))2,fogGO(E)puis f^-1GO(E).
en fait le problème se pose pour f^-1,pouvez-vous m'aidez?
ll f(x) ll=k ll x ll= k ll fof^-1(x)ll=k ll f^-1(x) ll
d'où llf^-1(x)ll=llxll ??
est-ce que l'inclusion GO(E)
GL(E) est évidente? pourquoi?
merci beaucoup!pouvez-vous encore m'aider? à présent il s'agit de montrer qu'une similitude de E s'écrit de manière unique comme composée d'une homothétie de rapport strictement positif et d'un automorphisme orthogonal de E.
j'ai pensé à raisonnement par analyse et synthèse mais je n'arrive pas à le demarrer,pouvez-vous m'indiquer la démarche à suivre?merci
cela revient à démontrer que f s'écrit sous la forme où g est un automorphisme orthogonal.
En utilisant l'hypothèse sur f, essaie de déterminer et donc g.
Kaiser
=k et g=Ide ?est-ce que cela suffit pour conclure?
étant donné qu'on avait supposé que et qu'on a trouvé
, alors on a tout simplement
.(vérifie que ça marche).
Kaiser
Ah,d'accord...Peut-on poursuivre demain? en tout cas merci pour votre aide...
Bonne nuit et à bientôt !
chachoutte
bonjour Kaiser, j'ai encore quelques problèmes concernant l'exercice de hier;(on a montré qu'un endomorphisme f de E est une similitude ssi il existe a
*tel que:(
)E^2,(f()lf())=a(l))(1) maintenant il s'agit de calculer llf(+)-f()-f()ll avec f une application de E dans E telle qu'il axiste a* vérifiant (1) ensuite il faut monter que f est une similitude.Pouvez-vous m'aider?
Bonjour chachoutte
Je te conseille de calculer le carré de la norme pour ne pas avoir des racines qui trainent. Ensuite, développe le tout (d'ailleurs, à ton avis, à quel résultat va-t-on vraisemblablement aboutir).
Kaiser
c'est ce que j'ai commencé par faire,mais je sais pas si c'est juste,je trouve:llf(x)ll^2+llf(y)ll^2+(f(x)lf(y))=a llxll^2+a llyll^2+a(ylx) (avec (x,y)=(,))
c'est le résultat que tu trouves en développant .
Si c'est le cas, je crois que tu t'es trompé(e). Pourrais-tu détailler le début de ton calcul ?
Kaiser
llf(x+y)-f(x)-f(y)ll^2
=llf(x+y)ll^2+llf(x)ll^2+llf(y)ll^2-2(f(x+y)lf(x))-2(f(x+y)lf(y))+2(f(x)lf(y))
=llf(x+y)ll^2+llf(x)ll^2+llf(y)ll^2-2a((x+y)lx)-2a((x+y)ly)+2a(xly)
est-ce que jusqu'içi c'est juste?
je continue donc:
=ll f(x+y) ll^2+ll f(x) ll^2+llf(y)ll^2-2a llxll^2-2a(ylx)-2allyll^2-2a(xly)+2a(xly)
=ll f(x+y) ll^2+ll f(x) ll^2+ll f(y) ll^2-2a llxll^2-2a(ylx)-2allyll^2
mais llf(x+y)-f(x)-f(y)ll^2=0,alors
2 llf(x)ll^2+2 llf(y)ll^2+2(f(x)lf(y))=2a llxll^2+2a llyll^2+2a(xly)
d'où ll f(x) ll^2+ ll f(y) ll^2+(f(x)lf(y))=a llxll^2+a llyll^2+a(xly)
comment montre t-on ensuite que GO(E) est exactement l'ensemble des automorphismes f de E qui transforment 2 vacteurs orthogonaux en deux vecteurs orthogonaux,en utilisant une bon de E?
mais llf(x+y)-f(x)-f(y)ll^2=0,
Justement, on en suppose pas f linéaire. C'est ce que l'on cherche à montrer.
comment montre t-on ensuite que GO(E) est exactement l'ensemble des automorphismes f de E qui transforment 2 vacteurs orthogonaux en deux vecteurs orthogonaux,en utilisant une bon de E?
en fait, c'est plus bête que ça.
Il faut montrer que si x et y sont non nuls, alors
Considère donc deux vecteurs non nuls x et y, et à partir de ces vecteurs, construits deux vecteurs u et v qui sont orthogonaux.
Kaiser
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