Bonjour GaBuZoMeu,

Voilà l'énoncé (source: oral HEC 2009, page 12 du document  ) copié mot pour mot:

Citation :
Soit (E,<,>) un espace euclidien de dimension n>0. Soit f et g deux endomorphismes de E symétriques et ayant des valeurs propres strictement positives.
1) Prouver qu'il existe  un endomorphisme v de E ayant des valeurs propres positives tel quel f=v²
2) Montrer que  Ker(f+g)=Ker(f)Ker(g)

Bonjour,
Que sais-tu du rapport entre diagonalisation et endomorphisme symétrique ?
Penses-tu que si je te rappelle que cela peut t'aider ?

Excuses
je viens de m'apercevoir que ce n'est pas ta question!!

Bonjour Domorea,

(E,<,>) étant un espace euclidien, les endomorphismes symétriques sur cet espace sont diagonalisables.
Quant à votre rappel, je ne vois pas :/.

Merci pour votre réponse,

Wacker.

Ce n'est rien .

Si l'on suppose les valeurs propres positives ou nulles, alors on a bien ker(f+g) = ker(f) ker(g).
Indication : comparer le noyau et le cone isotrope pour une forme quadratique semi-définie positive.

Je vois ce qu'est le cône isotrope d'une forme quadratique Q (tous les vecteurs x vérifiant Q(x)=0), en revanche je ne vois pas (et n'ai pas appris ni rencontré) ce qu'est le noyau d'une forme quadratique.

C'est le noyau de la forme bilinéaire symétrique associée   (telle que ).
Sur un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire, un telle forme bilinéaire symétrique peut s'écrire - de manière unique -  sous la forme , où est un endomorphisme symétrique.
Le noyau de , c'est le sous-espace des tels que pour tout . Autrement dit, c'est .

Bonsoir GaBuZomeu,

Merci pour cette définition on ne peut plus claire.
J'ai donc suivi votre indication en comparant le noyau et le cône isotrope des formes quadratiques semi-définies positives.
Comme vous l'avez dit, en conservant vos notations, le noyau de la forme quadratique Q (associée à l'endomorphisme symétrique f) est .
Le cône isotrope de Q est lui aussi . En effet, en notant une base orthonormale formée de vecteurs propres pour telle que et ..., on a, pour appartenant au cône isotrope de Q:

En notant p le rang de la plus petite valeur propre non nulle on a:

Il s'ensuit, que pour puis
Finalement, le cône isotrope de est égal à par double inclusion (car ).

J'espère ne pas m'être trompé jusque-là.
Maintenant, en appliquant tout ça à l'endomorphisme symétrique f+g, on obtient Ker Q = Ker (f+g) (où Q est la forme quadratique associée à f+g) et le cône isotrope qui vaut aussi Ker (f+g) (d'ailleurs, n'y a-t-il pas une notation pour "cône isotrope d'une forme quadratique"?).
Et là je pense avoir fait une erreur car Ker Q = Cône Isotrope (Q) et je ne parviens pas à faire le lien avec l'égalité qu'on cherche à démontrer.

Je suis désolé si j'ai fait des erreurs de débutant, mais je manie quelques notions un peu nouvelles pour moi.

Merci encore pour votre précieuse aide,

Wacker.

Il y a une petite confusion dans les indices (à propos du p), mais ce n'est pas grave.

Ensuite, pour conclure, on peut bien sûr aussi considérer la forme quadratique R associée à f et la forme quadratique S associée à g. Quelle relation entre Q, R et S ? Quelle relation entre leurs cones isotropes ?

Je ne vois pas la confusion dont vous parlez concernant l'indice p. Je l'ai juste introduit pour enlever les valeurs propres nulles.

En conservant vos notations, on a, si je ne me trompe pas:

Montrons par double inclusion que
-Soit , donc et
-Soit , R(x)+S(x)=0, ce qui peut s'écrire .
Or, comme et sont deux endomorphismes symétriques positifs, <f(x),x> et <g(x),x> sont supérieurs ou égales à zéro. Il s'ensuit que et donc .
Par double inclusion on a bien l'égalité souhaitée.
Or, comme , et , on a finalement



Ma démonstration est-elle correcte?

Je vous remercie une nouvelle fois pour votre aide,

Wacker.

Alors, je t'ai relu attentivement, et j'ai vu que tu rangeais les valeurs propres dans l'ordre décroissant. Les valeurs propres non nulles sont bien , au temps pour moi !