Si E est de dimension finie,c'est facile. Tu remarques que le polynome caractéristique de p est scindé dans C donc p admet au moins une valeur propre complexe or comme p est symétrique toutes ses valeurs propres sont réels.

Je ne connais pas la notion de polynome caractéristique d'un endormophisme

Je peux essayer de t'expliquer rapidement mais je ne voudrai pas t'embrouiller, tu poses
P(lambda)=det(p-lambda*identité)
Si tu écris la matrice de p-lambda*identité, tu remarques que le x n'intervient que dans les coefficients diagonaux donc P est bien un polynome de  degré la dimension de E
il existe lambda dans C tel que P(lambda)=0 c'est à dire x->p(x)-lamba*x n'est pas injective c'est à dire qu'il existe x non nul tel que p(x)-lambda*x=0
Tu as donc trouver ton x et ton lambda (t'as plus qu'a expliquer que lambda est réel car on ne sait toujours pas servi que p était symétrique)

En fait le pb c'est que je suis en prépa Hec donc les notions de determinants n'existent pas, c'est une propriété du cours mais je me demandais comment la prouver, après si vous ne voyez pas d'autre méthodes il est possible qu'elle soit admise.

Bonsoir.
Je ne vois pas de procédé élémentaire pour prouver le cas général (en dimension n) sans admettre au moins que tout endomorphisme admet des valeurs propres lorsque le corps de base est C. Peut-être le sais-tu. Dans ce cas, j'ai une preuve à te fournir.
Cordialement RR.

bonsoir Ykroxor
p end sym donc p^2=I cad (p+I)(p-I)=0 (**)
1er cas:si p=I ou p=-I:
   c'es trivial;par exemple si p=-I alors pour tout
   x<>0 on a p(x)=-x(lambda ici est -1 )      
2eme cas:si p<>I et p<>-I:
   p<>I implique l'existence de e<>0 t.q (p-I)(e)<>0
   gràce à (**) on a (p+I)(p-I)(e)=0 .
   posons x=(p-I)(e).alors (p+I)(x)=0
   donc p(x)=-x (lambda ici est -1)