Niveau maths spé

endomorphismes symétriques et valeurs propres

Posté par
j123456 15-03-22 à 19:01

Bonjour,
on considère (E, ( / )), un espace euclidien et a, b $\in (S_n^{++}(\mathbb{R})\times S_n^+(\mathbb{R}))$ . On introduit le produit scalaire $( / )_a = (a^{-1}(x)/y)$ .

1)Montrer que $a\circ b$ est diagonalisable.
On montre que   $a\circ b$ est symétrique pour le produit scalaire introduit et on conclut avec le théorème spectral.

On note $\lambda_{min}$ et $\lambda_{max}$ les valeurs propres minimales et maximales de nos endomorphismes diagonalisables. On introduit $\phi$ , la fonction qui à x dans E associe $\phi(x)= \frac{(b(x) / x)}{(a^{-1}(x)/x)}$ .

2)Montrer que $\phi( E$ \ {0} $) = [ \lambda_{min}(a\circ b), \lambda_{max}(a\circ b)]$ .
On considère une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de   $a\circ b$ et en utilisant le fait que   $\phi(x)=\frac{(a\circ b(x)/x)_a}{||x||_a^2}$ , on obtient le résultat.

3)On suppose b à valeurs propres positives. Montrer que
$\lambda_{min}(a) \lambda_{min}(b)\leq  \lambda_{min}(a\circ b)\leq  \lambda_{max}(a\circ b)\leq  \lambda_{max}(a) \lambda_{max}(b)$ .

Je bloque totalement sur la 3, je ne sais pas comment démarrer.

Merci de votre aide

Posté par re : endomorphismes symétriques et valeurs propres 15-03-22 à 22:43

Bonsoir

3)

Citation :
a, b $\in (S_n^{++}(\mathbb{R})\times S_n^+(\mathbb{R}))$ .

il me semble que si on a par hypothèse $b\in S_n^+(\mathbb{R})$ c'est que l'endomorphisme $b$ est supposé (dès le départ) symétrique positif

ce qui se traduit par $\Large \boxed{\forall x,y\in E~,~\left(b(x)/y\right)=\left(x/b(y)\right)}$ et $\Large \boxed{\forall x\in E~,~\left(b(x)/x\right)\geqslant0}$

donc (par le théorème spectral) $b$ est diagonalisable dans une base orthonormale $\left(e_1,...,e_n\right)$ de $E$

et en particulier on a pour tout $i=1...n$ , $\left(b(e_i)/e_i\right)=\left(\lambda_i(b)e_i/e_i\right)=\lambda_i(b)\geqslant0$ .

Donc ce n'est pas la peine (dans $3)$ ) de supposer $b$ à valeurs propres positives.

Bref c'était juste une remarque sur l'énoncé !

On a $\Large \boxed{\forall x\in E-\{0\}~,~\phi(x)= \frac{(b(x) / x)}{(a^{-1}(x)/x)}=\frac{\frac{(b(x) / x)}{(x/x)}}{\frac{(a^{-1}(x)/x)}{(x / x)}}}$

tu pourras alors montrer que $\Large \boxed{\forall x\in E-\{0\}~,~\lambda_{min}(b)\leqslant\frac{(b(x) / x)}{(x/x)}\leqslant\lambda_{max}(b)}$

et que $\Large \boxed{\forall x\in E-\{0\}~,~\frac{1}{\lambda_{max}(a)}\leqslant\frac{(a^{-1}(x)/x)}{(x / x)}\leqslant\frac{1}{\lambda_{min}(a)}}$

puis conclure

_{sauf erreur de ma part bien entendu}

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