Bonjour,
que vaut ?
veut dire qu'il existe tel que ...

p(x-p(x))=p(x)-pop(x)=p(x)-p(x)=0 donc xE x-p(x)Kerp

yImp signifie:
xE y=p(x) p(y)=pop(x) p(y)=p(x)=y
merci beaucoup désolée de vous avoir importuné pour si peu

dans la question suivante on me demande de montrer que l'image et le noyau de p sont deux sous espace vectoriels supplémentaire dans E. comment faire svp

Déjà montre que ce sont des E.V. (c'est peut être déjà dans ton cours, l'image et le noyau d'un endomorphisme sont des E.V.) puis montre (cela prouve pour deux sous E.V. qu'ils sont en somme direct) puis montre que tout élément x de X peut s'écrire x=y+z avec y dans le noyau et z dans l'image (cela montre que E est somme du noyau et de l'image)

je connais mon cours mais je n'arrive pas à l'appliquer

Bonjour

- Ker p et Im p sont des  ev (c'est dans ton cours)comme te l'a dit Tize

- leur intersection est réduite à 0:

si a Ker pIm p, alors:

* a = p(x) car a est l'image d'un élément puisqu'il est dans Im p

* p(a) = 0 car p est dans le noyau de p

en remplacant a par p(x) dans la 2ème, tu trouves: p(p(x)) = 0 soit pop(x) = 0

Or (de l'énoncé) tu sais que pop = p

donc p(x) = 0 c'est a dire a = 0

Conclusion: si a Ker pIm p, alors a = 0


c'est a dire Ker pIm p = {0}

- leur somme est egale à E:

Tout x de E s'écrit:

x = (x - p(x)) + p(x)

or, tu l'as démontré plus haut, (x - p(x)) appartient au noyau de p.

Et bien sûr p(x) est dans l'image de p.

Conclusion: tout element de E est la somme d'un element du noyau et d'un element de l'image

- les deux points font que E est sommme directe de Ker p et Im p.

OK?