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endomrphisme demonstration

Posté par
Monkeystart 20-08-11 à 22:05

Salut,

je bloque sur une demo qui m a l air facile pourtant mais il doit me manquer une astuce et je n arrive pas a la terminee :

soit E un Kev, de dim n, f et g deux endomorphisme de E tel que

f(g)=0 et f+g  inversible
Montrer que Ker f =Im g

donc la partie Im g   C  Ker f c est bon.
La deuxieme inclusion me pose plus de probleme, je ne sais pas trop comment utiliser le fait que f+g  inversible. Sa veut dire que (f+g) est bijectif non ?

Du coup sa donne sa :

soit x Ker f , ie f(x)=0_E
On mq x Im g , ie on mq il existe y E tel que g(y)=x

(f+g)_(x)= f(x)+g(x)= g(x) Or (f+g)  est  bijectif
Et la je sais pas trop quoi faire < Merci

Posté par
gui_toure : endomrphisme demonstration 20-08-11 à 22:23

Salut

Cherche plutôt à montrer l'égalité des dimensions, grâce au théorème du rang. Remarque en effet que f+g bijectif donne Im(f+g) = E. Or Im(f+g) inclus dans Im(f)+Im(g). Etc

Posté par
Monkeystartre : endomrphisme demonstration 20-08-11 à 22:49

Peut tu developper je ne comprends pas bien stp =)

Posté par
Monkeystartre : endomrphisme demonstration 20-08-11 à 22:56

en fait je ne comprends pas pk f+g bijectif donne Im(f+g)=E ?

Posté par
Arkhnorre : endomrphisme demonstration 20-08-11 à 23:00

Bonsoir.

La bijectivité entraine la surjectivité ...

Posté par
gui_toure : endomrphisme demonstration 20-08-11 à 23:03

f\cir g=0 donne Im(g)\subset ker(f) donc rg(g)\le \dim\ker(f)=\dim E-rg(f). Donc rg(f)+rg(g)\le \dim E

f+g bijectif donne Im(f+g)=E parce que chaque élément de E est l'image (unique) d'un élément de E par (f+g). Or Im(f+g)\subset Im(f)+Im(g) donc \dim E\le rg(f)+rg(g)

Au final \red rg(f)+rg(g)=\dim E soit rg(f)+(\dim E-\dim\ker g)=\dim E soit \dim Imf = \dim \ker g et on a l'égalité des dimensions.

Posté par
Monkeystartre : endomrphisme demonstration 20-08-11 à 23:07

merci pour l explication!

juste une question, la double inclusion ne fonctionnait pas ici?
Merci

Posté par
gui_toure : endomrphisme demonstration 20-08-11 à 23:16

J'ai pas l'impression


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