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enigme "le produit"
bonsoir, pourriez vous m'aider s'il vous plait, je cherche mais n'arrive pas à résoudre cette énigme:
complétez cette multiplication de telle sorte que tous les chiffres de 0 à 9 y figurent:
_ _ _ 
_ _ = _ _ _ _ 1
(dans l'énoncé le produit est posé en colonne)
voila, je sais pas si la manière dont je l'ai écrit est très claire, désolée d'avance
ma piste: pour que le chiffre des unité soit 1 et dans ces conditions, la seule possibilité pour les chiffres des unité des deux nombres sont 3 pour l'un et 7 pour l'autre il me semble
Bonjour Leawz
Dans quel cadre votre problème a t'il été posé ? S'appuie t'il sur un chapitre de maths en particulier ?
J'ai pu facilement résoudre votre exercice à l'aide de l'informatique.
Cependant si un quelconque raisonnement est attendu je n'ai que la réponse à vous apporter.
Voici mon code programmé arbitrairement en Python :
L=[0,2,3,4,5,6,7,8,9]
def resolution(L, C):
if len(L) == 0:
if (100*C[0]+10*C[1]+C[2])*(10*C[3]+C[4]) == (10000*C[5]+1000*C[6]+100*C[7]+10*C[8] + 1): ##vérifie la condition##
print(C[0],C[1],C[2],'x',C[3],C[4],' = ',C[5],C[6],C[7],C[8],'1',end='')
return
else:
for k in range(len(L)): ##On teste toutes les permutations possibles##
Lprime = list(L)
Cprime = list(C)
del Lprime[k]
Cprime.append(L[k])
verification(Lprime,Cprime)
resolution(L,[])
Le programme utilise la récursivité, c'est à dire une fonction qui s'appelle elle-même. Il va ainsi pour la liste des chiffres de [0;9] (1 exclu puisqu'il est imposé) vérifier tous les cas possibles puis signaler si un cas fonctionne.
La réponse est donc : 9 2 7 x 6 3 = 5 8 4 0 1
Cordialement, un Matheux Malin
Bonjour, merci beaucoup pour votre réponse!
Je ne pense pas que ce soit avec l'informatique que je doivent résoudre le problème… mais votre résolu est très intéressante, même si je n'ai pas d'idée pour le résoudre « à la main »
Merci quand même!
Sans informatique, je pense que c'est long. Quasiment infaisable.
Déjà, quelques notations : abc*de=fghi1
On sait que (c,e)=(3,7) ou (7,3).
On peut raisonner modulo 9, si on connait la 'preuve par 9'.
Regardons les nombres abc et de modulo 9.
Modulo 9, cette égalité s'écrit : 1*4=4 ou 3*6=0 ou 4*1=4 ou 6*3=0 ou 0*0=0
Bof ... ça ne nous avance pas énormément.
Les chiffres a et d doivent être relativement grands, pour que le produit donne un nombre à 5 chiffres, et le chiffre f soit être relativement petit.
Tout ça ne nous mène pas très loin.
On peut aussi regarder tous les nombres possibles en position d et b, et regarder quel chiffre on obtient en i.
Ca paraît plus méthodique :
Regardons ?3*?7 = ..1
On a 7*6=42 cas à regarder , et parmi ces 42 cas il y en a certainement une moitié à peu près qui vont mener à une incohérence.
par exemple
03*27 = 81 --> ok , on obtient un 8, et c'est cohérent.
03*47 = 41 --> pas ok on aurait un 4 sur l'une des 2 premières lignes, et encore un 4 en i.
03*57 = 71 --> incohérent aussi, il faudrait que i=7, et ce n'est pas possible.
Etc etc
On a 42 cas à regarder, ce n'est pas énorme. Il va en rester une vingtaine.
Et parmi cette vingtaine de cas, pour chacun des cas, il restera 4 chiffres possibles pour le chiffre des centaines, et on pourra placer ce chiffre des centaines devant l'un ou l'autre des 2 nombres.
Donc environ 20*4*2 cas à regarder.
En éliminant très vite les cas où visiblement, le produit ne donnera pas un nombre à 5 chiffres.
Disons une heure de calculs pour trouver la ou les solutions, sans calculatrice ni téléphone ni ordinateur.
Et pour ces
salut
ouais la preuve par 9 n'est pas d'une grande utilité ...
cette multiplication s'écrit ainsi
2
a b c
* d e
-------------------------
p q r 1
+ t u v w
------------- -----------
f g h i 1donc (c, e) € {(3, 7), (7, 3)}
déjà réfléchir aux retenues
la somme de deux chiffres ne peut dépasser 18 = 9 + 9 donc toute retenue est 1
et on en déduit que f = t ou f = t + 1
supposons (c, e) = (7, 3)
par multiplication par 3 une retenue ne peut dépasser 2 puisque 3 * 9 = 27
donc p = 1 ou p = 2
et a >= 3 suivant qu'on ait une retenue ou pas mais comme 3 est déjà utilisé a > 3
2
a b 7
* d 3
-------------------------
p q r 1
+ t u v w
------------- -----------
f g h i 1...
Dans ton calcul, p peut éventuellement être nul.
La preuve par 9 donne quand même déjà des indications.
Le terme de la 2ème ligne de ne peut pas être 97 par exemple ; On doit avoir un nombre de la forme 9k+i, avec i=0,1,3,4 ou 6.
Ca réduit déjà de moitié quasiment les valeurs possibles.
Et pareil pour le terme abc.
Et si de est de la forme 9k+4, alors abc doit forcément être de la forme 9k'+1...
Ca élimine plein de cas.
effectivement
pour que p = 0 il est nécessaire que a = 2 ... cas qui peut vite être traité ...
même si je n'ai pas d'idée pour le résoudre « à la main »
mais cela reste tout de même long évidemment ...
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