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Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e)

Posté par
jamo Moderateur
09-05-10 à 12:25

Bonjour tout le monde,

vous savez tous que lorsqu'on lance un objet, sa trajectoire est parabolique, et il faut un angle de 45° pour que le projectile aille le plus loin possible.

Depuis une autre énigme (ici : L'artilleur ), vous savez aussi qu'il faut un angle de 56,5° pour que la longueur de la trajectoire soit la plus longue possible.

Aujourd'hui, Jamo ne manque pas d'air et vous propose encore une variante de ce problème où il est question d'aire !

L'action se situe sur un sol horizontal, et on tire un projectile au niveau du sol avec une vitesse initiale de 20 m/s. On prendra g=10 N/kg, et on néglige les frottements.

Question : déterminer l'aire maximale sous la courbe (en vert sur la figure ci-dessous) ainsi que la valeur de l'angle de lancer correspondant.

Il y a donc deux valeurs à donner :

1. la valeur de l'angle (par rapport à l'horizontal), en degrés, avec une précision au centième si nécessaire ;

2. la valeur de l'aire, en m2, avec une précision au centième si nécessaire.

Et pour les plus courageux, mais c'est optionnel, vous pourrez vous amuser à déterminer les valeurs exactes ...

Bonne recherche !

Enigmo 198 : ça ne manque pas d\'air(e)

Posté par
dagwa
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 13:03

perduBonjour,

je propose un angle de 30° pour une aire de 200\sqrt{3} m^2 soit environ 346,41 m^2.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 13:08

gagnéBonjour Jamo,

Je propose un angle de 60° et une aire maximale de 346,41 m²

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 13:21

gagné1. Je trouve 60°
2. Je trouve 346,41 m2

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 13:23

gagnéBonjour Jamo,

Je trouve =60,00°  et  A=346,41 m² .

Quelques calculs me conduisent (sauf erreur) à A=80²/6*sin3*cos . D'où pour le maximum =/3 et A=2003

Posté par
totti1000
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 13:27

gagnéSalut Jamo,
Alors je propose pour cette enigme, un angle de 60° et une aire de 346,41m2.

Posté par
Noflah
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 13:48

gagnéBonjour Jamo,

Je me suis lancé dans la résolution exacte :

On part de la seconde loi de Newton, on intègre deux fois sans oublier les conditions initiales et on trouve l'équation de la trajectoire en fonction de alpha :

y(x) =  x*tan(alpha)-(1/2)*g*x^2/(v0^2*cos(alpha)^2)

On trouve la valeur x0 pour laquelle l'objet touche le sol (on élimine bien sur la solution x=0) :

x0 = 2*tan(alpha)*v0^2*cos(alpha)^2/g

On définit alors la fonction aire A(alpha) :

A(alpha) = int(y(x), x = 0 .. x0) = 2/3 * sin(alpha)^3 * cos(alpha) * v0^4 /g^2

On cherche alors le maximum (donc un extremum) de cette fonction de alpha -> on dérive. Bon là j'ai fait appel à maple, pas envie de dériver ça à la main :

A'(alpha) = 2*tan(alpha)^2*v0^4*cos(alpha)^4*(1+tan(alpha)^2)/g^2-(8/3)*tan(alpha)^3*v0^4*cos(alpha)^3*sin(alpha)/g^2

On demande à maple de résoudre A' = 0, il trouve les valeurs de alpha suivante : 0, (1/2)*Pi, (2/3)*Pi, (1/3)*Pi
On élimine 0 et Pi/2 car ce sont des minimums et non des maximums (mais c'est tout de même rassurant de retrouver les résultats intuitifs : si tu lance ton objet à la verticale ou à l'horizontale l'aire balayée est nulle).
Enfin 2*Pi/3 et Pi/3 sont une même valeur, cela dépend de si tu as lancé ton objet vers la gauche ou vers la droite, conformément au dessin proposé dans l'énoncé, je ne retiendrait donc que la valeur :

alpha = 60 degrés


On trouve alors A(Pi/3)=(1/8)*sqrt(3)*v0^4/g   ce qui avec les valeurs de l'énoncé de v0 et g donne :

Aire balayée : 200*sqrt(3) 346,41 m²


Merci pour l'énigme,
A bientot.

Posté par
tzypon
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 14:20

perduBonjour,

ma réponse : S = 173.21 m² pour un angle de 60,00°


formule exacte : S=\frac{1}{3}\frac{V_0^4}{g^2}sin^3(\alpha)cos(\alpha)

Le maximum est atteint quand sin^3(\alpha)cos(\alpha) est max.

soit 3cos^2(\alpha)sin^2(\alpha)-sin^4(\alpha)=0
Or 0
en simplifiant, on arrive à :
cos()=1/2

Posté par
integral
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 14:28

gagnéBonjour jamo
Je trouve un angle de 30 degrés exactement, ce qui donne une aire de 346.41 m².
Merci pour l'énigme

Posté par
integral
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 14:30

gagnéMille excuses, je voulais écrire un angle de 60 degrés et une aire de 346.41 m².

Posté par
geo3
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 15:26

gagnéBonjour
l'angle = 60°
et l'aire = 346,41
A+

Posté par
fizzz
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 16:23

perdune faudrait il pas trouver d'abord l'équation de la droite (-1/2gt²+V+Cste)
pour l'angle ne faudrait il pas trouver le coefficient de la tangente a l'origine de la courbe puis grace a la tan-1du coefficient on determine langle ou pour avoir l'aire directement on calcule l'integrale de la fonction.....


c'est ce que je pense....

Posté par
xtreboul
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 16:29

gagnéSalut JAMO et tous les Amis!

Ma proposition:

* L'angle alpha = 60 degré soit pi/3 en radian (valeur exacte de alpha)
* La surface maximale = 346,410 m²
-----------------------------------
Element de solution:

Enigmo 198 : ça ne manque pas d\'air(e)

Posté par
caylus
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 18:12

gagnéBonjour Jamo,

1: 60,00°
2: 346,41 m
Merci pour l'enigmo.

Posté par
torio
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 18:28

gagnéil faut un angle de 60°
qui donne une aire de 346,41 m2

A+
Torio

Posté par
dpi
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 18:52

perduBonjour,
Je trouve que l'aire maximale sera obtenue avec un angle de 60°  et sera de 32 475 ,95 m2

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 09-05-10 à 23:30

perduBonjour

Je dirais que l'angle vaut environ 46,06° et que l'aire vaut environ 598,63 m²

MM

Posté par
infophile
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 10-05-10 à 11:37

gagnéBonjour,

Fais à la va vite donc certainement faux :

Je trouve un angle de 60° et une aire correspondante \frac{v_0^4\sqrt{3}}{8g^2} soit 200\sqrt{3}\approx 346,41 m².

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 10-05-10 à 15:51

gagnéBonjour,

Mes réponses :
arrondies
1. 60°
2. 346,42 m²

exactes :
1. 60°
2. \frac{\sqrt{3}V_0^4}{8g^2}

Démonstration :
Les énigmes précédentes ont permis d'établir l'équation de la courbe trajectoire :
y=(-\frac{g}{2V_0^2 \cos^2\alpha})x^2+(\tan\alpha) x
donc ici y(x)=-\frac{1}{\cos^2\alpha}x^2+(tan\alpha) x
et la portée L=\frac{V_0^2^}g \sin(2\alpha)
donc ici L=40 \sin(2\alpha)

Il s'agit alors de calculer l'aire par intégration de 0 à L :
A(\alpha)=\int_0^L y(x)dx
on obtient A(\alpha)=\frac{3200}{3}\cos\alpha\sin^3\alpha

Il ne "reste" plus qu'à étudier les variations de h(x)=\cos x\sin^3 x sur [0,\frac{\pi}{2}]
h'(x)=(\sin^2 x)(3\cos^2 x-\sin^2 x)
h'(x)=0 SSI \sin x=0 (x=0 EXCLU)
ou 3\cos^2 x-\sin^2 x=0
\tan^2 x=3
x=60°

et alors A(60°)=346,42m²

Posté par
tanatonaute
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 10-05-10 à 19:03

perduselon mes calculs préliminaires et qui n'engagent que moi:

teta= 0.7137 rad cad 40.89°
aire=316.69 m²

Posté par
LeDino
2PI sur 3 10-05-10 à 19:10

gagnéBonjour,

Merci pour cete énigme qui renouvelle bien le genre .

Sauf erreur, l'angle optimal est de 60°.
Et la surface maximale est alors de 346,41 m².

Pour trouver ces résultats, un artilleur aurait procédé comme suit...
La hauteur de la parabole est donnée par H = sin²(alpha).V²/2g
La portée du projectile est donnée par P = 2X = 2.sin(2.alpha).V²/2g
L'aire de la parabole est de 2/3 de celle du rectangle qui la contient, donc A = (2/3).P.H = (2/3).sin²(alpha).V²/2g.2.sin(2.alpha).V²/2g

En posant H* = Hauteur max = V²/2g, et sin(alpha)=s, cos(alpha)=c :
On obtient :  A = (8/3)H*².cos(alpha).sin3(alpha)

En prenant le carré et en posant sin(alpha)=s :
(1-s²).s6 = s6 - s8, se dérive en 6s5 - 8s7, qui s'annule pour s²=3/4.

D'où l'angle exact de 60° (sin=racine(3)/2 et cos=1/2).
La hauteur maximale H*=20m.
La hauteur exacte de la parabole H=15m.
Et l'aire exacte de la parabole :
A = H*².racine(3)/2
A = (V²/2g)².racine(3)/2
A = 200.racine(3).

2PI sur 3

Posté par
Labo
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 11-05-10 à 16:18

gagnéBonjour Jamo,
angle de tir 60° (valeur exacte)
aire =2003 m2346,4102 m2 au cm2 près
sauf erreur

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 11-05-10 à 20:09

gagnéBonjour,

Je propose :

angle = 60°
Aire = 2003 = 346,41 m²

Encore merci pour toutes ces chouettes énigmes

Bonne journée

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 11-05-10 à 20:25

gagnéRebonjour,

Détail des calculs :

Trajectoire :

x(t) = V0 cos t
y(t) = V0 sin t - (g t2)/2

Xmax pour y=0  ==> t1 = (2 V0 sin)/g

Xmax = V02 sin(2) / g

Ymax en Xmax / 2  ==> en t1 / 2 = (V0 sin)/g

Ymax = V02 sin2() / (2 g)

Aire = 2/3 Xmax Ymax
     = (V04 sin(2) sin2())/(3 g2)


Pour maximiser cette aire il faut = 60°

L'aire vaut alors : A = V04 3  / (8 g2)

Comme V0 = 20 m/s ==> Aire max = 2003



Bonne journée

Posté par
dagwa
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 12-05-10 à 11:55

perduJe viens de me rendre compte que si le reste de mes calculs sont justes l'angle vaut 60° et non 30°.

Posté par
hhh86
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 12-05-10 à 16:30

gagnési je ne me suis pas trompé,
l'angle : 60°
l'aire 200sqrt(3) m², c'est-à-dire 346,41 m²

Posté par
Rainbow14
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 12-05-10 à 18:47

gagnéVraiment tordu, je peut vous dire que j'en ai chié des ronds de chapeau avec mon niveau de première S ^^

angle : 60°
Aire : 346,410 m

Merci pour l'enigmo Jamo !

Bonne soirée à tous.

Posté par
germi
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 12-05-10 à 20:26

perdu1) PFD
2) Utilisation de Green-Riemann
3) Résolution numérique

Je trouve, sauf erreur :    angle  = 1.05 radians soit  60.00 degrés

Posté par
germi
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 12-05-10 à 20:28

perduJe ne sais pas comment mais mon message est parti avec que je puisse donner l'aire.
Aire maximale = 1037.50 m^2

Posté par
castoriginal
Enigmo 198 13-05-10 à 00:50

gagnéBonsoir,

considérons la figure ci-dessous:
Enigmo 198

l'équation de la parabole de tir OAB est y=(tg)*x- g* x2/2(v cos )2
en remplaçant v par 20m/s et g par 10m/s2
on obtient l'équation  y = (tg)*x - x2/80 (cos )2. La dérivée vaut y'= tg-2x/80 (cos )2.
Cette dérivée annulée donne les coordonnées du sommet A de la parabole: on trouve tg= x/40(cos )2
soit x(A)= 40*sin*cos et y(A)=20*(sin)2.
Le point B a pour coordonnées y(B)=0 et x(B)= 80 sincos
Archimède a montré que l'aire sous la parabole vaut 4/3 aire du triangle OAB
soit S(parabole) = 4/3*x(A)*y(A)  soit 4/3*800*(sin)3*cos = 3200/3*(sin)3*cos
La valeur exacte est donnée par l'intégrale S=y*dx sur l'intervalle 0-x(B)   soit S= tgx2/2 - x3/(3*80 (cos)2) où l'on remplace x par la valeur de x(B) le résultat est S=1066,6666...*(sin)3*cos
En utilisant un tableur,on fait varier pour obtenir la valeur de l'aire maximale sous la parabole S(max) =346,4101615 m2 arrondi à
S =346,41m2  pour une valeur de l'angle  = 60°00
La différence entre le calcul de l'aire par la méthode d'Archimède et par  le calcul de l'intégrale est négligeable.

Amitiés, bien à vous

Posté par
bil-out
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 13-05-10 à 02:09

perdualpha = 60° pour une aire de 588 897,275 m²

mais est ce que le calcul de cette aire peut avoir une utilité concrete ?

Posté par
rezoons
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 15-05-10 à 14:25

perduBonjour ,
je trouve 60° pour l'angle et une aire sous la courbe de 13856406 cm² soit 1385,6406 m²

Posté par
rdces
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 16-05-10 à 11:52

perduangle: 79.59°
aire: 346.41 m²
Merci pour cette énigme qui allie à la fois physique (pour l'obtention de lequation de la parabole) mathématique (pour obtenir l'équation reliant l'aire à l'angle) et informatique (pour trouver la valeur de l'angle pour que l'aire soit maximale)

Posté par
efpe
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 20-05-10 à 11:15

perduL'aire de la trajectoire est donnée par
A() = sin3()*cos()*Vo4 / (6.g²)

Une petite étude de fonction conduit à :

Aire maximale : 503  m² soit 86,60 m²
atteinte pour : = 60°



ce n'est pas si courageux de calculer les valeurs exactes puisque c'est à partir d'elles qu'on trouve les valeurs approchées ... ou alors le problème est plus compliqué que ce que j'ai fait ^^

Posté par
timouni
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 21-05-10 à 10:58

gagnéL'équation de la trajectoire est:
f(x)= (-g/(2vo²cos²)).x²+(tan).x
f(x)=0 pour x=0 ou x=(vo²sin2)/g
Aire=0(vo²sin2)/gf(x)dx
A()=((2vo4)/(3g²)).sin3.cos
on sait que 0/2
Sur cet intervalle,étudions la variation de A:
A est croissante pour 0/3 et A est décroissante pour/3/2
L'aire est donc maximale pour =/3 rad, c'est-à-dire pour =60° et vaut A(/3)=2003 soit environ 346.41 m²

Posté par
franz
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 21-05-10 à 19:04

gagnéOn peut montrer que l'aire balayée  vaut :
3$\mathcal A (\alpha)\;=\;\frac{2 v_0^4}{3 g^2}\;.\; \cos \alpha \;.\;\sin^3\alpha

et atteint son maximum à 4$\red 200\sqrt 3 \;\approx \;346,41\;m^2

pour un angle de 4$\red 60^\circ

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 22-05-10 à 00:38

perduBonsoir.
L'angle est 60° exactement.
L'aire est 173,21 arrondi au centième de mètre carré le plus proche (3 dam²).
Soit t l'angle
En prenant comme unité le décamètre :
le projectile tombe à 2*2*cos(t)*sin(t) de son point de départ
la hauteur moyenne de la courbe est (2*sin(t))²/3

Posté par
pallpall
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 24-05-10 à 11:57

gagnéBonjour jamo,

avec quelques équations, une intégration de polynôme, un peu de trigonométrie, je trouve :

- angle = 60 degrés "pile poil" ;
- aire  = 2003 m², soit 346,41 m² au centième de m².

J'espère avoir les bons résultats.

Merci jamo pour cette nouvelle énigme.

P.

Posté par
carpediem
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 24-05-10 à 17:33

gagnésalut

l'aire maximale est 346,41 pour l'angle 60°....

Posté par
gloubi
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 25-05-10 à 15:44

gagnéBonjour,

Angle de lancement: 60°.
Aire maximale de la surface sous la parabole: environ 346,4 m2.

A+  

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 26-05-10 à 22:36

perduBonsoir jamo,

Je viens d'apprendre a l'ecole, l'application de la 2eme loi de Newton dans un mouvement plan (notamment les projectiles...), donc beau entrainement !

1. La courbe Cf du graphe de l'enonce represente la trajectoire du projectile, et est de meme la representation d'une fonction polynome de second degre... Elle est de la fomre: f(x)=ax^2+bx+c avec a0

La droite d'equation y=0 coupe Cf en 2 points de coordonnees (0;0) et (8;0) donc f(x)=ax(x-8)

Le point (3;6) a Cf (graphiquement) donc:
6=9a-24a
a=-6/15

f(x)=(-6/15)x^2 + (48/15)x=-0.4x^2+3.2x

Or f peut s'ecrire aussi sous forme de: f(x)=-g/(2v0^2cos2)*x^2 + (tan)x

Par identification, tan =3.2 et =72.65 degre (arrondis au centieme par exces)

2. soit F la primitive de f donc F(x)=(-0.4/3)x^3 + (3.2/2)x^2 + k (k un reel)
L'aire A sous la courbe= F(8)-F(0)=34.13 m^2 (arrondis au centieme par default)

Pour la question 2. un internaute m'avait aidé en me donnant la formule ... aire

Au passage, j'ai une question concernant le numero 1, mais que je la poserai une fois que la correction est mise... J'avais essaye au debut une autre methode mais ca menait a plusieurs valeurs de et aucune d'entre elles sont egale a 72.65 degre (je suis persuade que 72.65 degre est la bonne reponse, car j'ai pris les coordonnees de quelque point de la courbe, et je les ai remplace dans l'equation de la trajectoire pour verifier si ca donne la meme reponse ...) J'ai pourtant verifie plusieurs fois la methode (qui mene a plusieurs valeurs pour ), mais je ne retrouve toujours pas mon erreur !

Merci pour l'enigme

Posté par
Lobatchevsky
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 27-05-10 à 12:13

gagnéL'angle est de /3, et l'aire maximale A vaut 200*3
Numériquement, =60° et A=346,41 m²

Posté par
Eltonio
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 28-05-10 à 21:20

gagnéBonsoir,

Ma réponse :

Angle : 60°

Aire : 346,41

Merci pour cette enigme passionante !

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 29-05-10 à 16:54

perduUn petit ajout:

Pour ma part, j'avais considere que chaque carreau vaut 1m en realite ...

Merci

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 30-05-10 à 18:26

Clôture de l'énigme

L'aire maximale est de 2003 (soit environ 346,41 m2), pour un angle de 60°.

Contrairement à la détermination de la longueur de parabole maximale, ce problème peut se résoudre de manière exacte.

Après la portée maximale, la longueur maximale, et l'aire maximale, je vous laisse méditer pour savoir sur quoi portera la prochaine énigme dont la parabole sera encore en vedette !

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 30-05-10 à 19:21

perduA ce que je vois, la figure n'a pas d'importance ??

J'ai mal compris l'enonce ...

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 30-05-10 à 19:25

J'ai bien fait de même pas essayer de réfléchir à cette enigme. Je ne comprend rien dans ce domaine !

Posté par
caylus
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 30-05-10 à 19:40

gagnéBonjour Jamo,

Je suis désolé d'avoir oublié le carré dans m².
Merci pour le smiley.

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 30-05-10 à 20:43

Jun_Milan >> la figure servait juste d'illustration. De plus, aucune unité n'était indiquée sur les axes, donc on ne pouvait pas s'en servir.

Posté par
freakles
re : Enigmo 198 : ça ne manque pas d'air(e) 30-05-10 à 22:14

Je ne comprend pas pourquoi on accorde la réponse a intégral alors que pour totti1000 on ne l'a pas accordée, et là personne ne crie a l'injustice?

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