Bonjour,

je propose un angle de 30° pour une aire de soit environ .

Bonjour Jamo,

Je propose un angle de 60° et une aire maximale de 346,41 m²

1. Je trouve 60°
2. Je trouve 346,41 m²

Bonjour Jamo,

Je trouve =60,00°  et  A=346,41 m² .

Quelques calculs me conduisent (sauf erreur) à A=80²/6*sin³*cos . D'où pour le maximum =/3 et A=2003

Salut Jamo,
Alors je propose pour cette enigme, un angle de 60° et une aire de 346,41m².

Bonjour Jamo,

Je me suis lancé dans la résolution exacte :

On part de la seconde loi de Newton, on intègre deux fois sans oublier les conditions initiales et on trouve l'équation de la trajectoire en fonction de alpha :

y(x) =  x*tan(alpha)-(1/2)*g*x^2/(v0^2*cos(alpha)^2)

On trouve la valeur x0 pour laquelle l'objet touche le sol (on élimine bien sur la solution x=0) :

x0 = 2*tan(alpha)*v0^2*cos(alpha)^2/g

On définit alors la fonction aire A(alpha) :

A(alpha) = int(y(x), x = 0 .. x0) = 2/3 * sin(alpha)^3 * cos(alpha) * v0^4 /g^2

On cherche alors le maximum (donc un extremum) de cette fonction de alpha -> on dérive. Bon là j'ai fait appel à maple, pas envie de dériver ça à la main :

A'(alpha) = 2*tan(alpha)^2*v0^4*cos(alpha)^4*(1+tan(alpha)^2)/g^2-(8/3)*tan(alpha)^3*v0^4*cos(alpha)^3*sin(alpha)/g^2

On demande à maple de résoudre A' = 0, il trouve les valeurs de alpha suivante : 0, (1/2)*Pi, (2/3)*Pi, (1/3)*Pi
On élimine 0 et Pi/2 car ce sont des minimums et non des maximums (mais c'est tout de même rassurant de retrouver les résultats intuitifs : si tu lance ton objet à la verticale ou à l'horizontale l'aire balayée est nulle).
Enfin 2*Pi/3 et Pi/3 sont une même valeur, cela dépend de si tu as lancé ton objet vers la gauche ou vers la droite, conformément au dessin proposé dans l'énoncé, je ne retiendrait donc que la valeur :

alpha = 60 degrés


On trouve alors A(Pi/3)=(1/8)*sqrt(3)*v0^4/g   ce qui avec les valeurs de l'énoncé de v0 et g donne :

Aire balayée : 200*sqrt(3) 346,41 m²


Merci pour l'énigme,
A bientot.

Bonjour,

ma réponse : S = 173.21 m² pour un angle de 60,00°


formule exacte :

Le maximum est atteint quand est max.

soit
Or 0
en simplifiant, on arrive à :
cos()=1/2

Bonjour jamo
Je trouve un angle de 30 degrés exactement, ce qui donne une aire de 346.41 m².
Merci pour l'énigme

Mille excuses, je voulais écrire un angle de 60 degrés et une aire de 346.41 m².

Bonjour
l'angle = 60°
et l'aire = 346,41
A+

ne faudrait il pas trouver d'abord l'équation de la droite (-1/2gt²+V+C_ste)
pour l'angle ne faudrait il pas trouver le coefficient de la tangente a l'origine de la courbe puis grace a la tan^-1du coefficient on determine langle ou pour avoir l'aire directement on calcule l'integrale de la fonction.....


c'est ce que je pense....

Salut JAMO et tous les Amis!

Ma proposition:

* L'angle alpha = 60 degré soit pi/3 en radian (valeur exacte de alpha)
* La surface maximale = 346,410 m²
-----------------------------------
Element de solution:

Bonjour Jamo,

1: 60,00°
2: 346,41 m
Merci pour l'enigmo.

il faut un angle de 60°
qui donne une aire de 346,41 m2

A+
Torio

Bonjour,
Je trouve que l'aire maximale sera obtenue avec un angle de 60°  et sera de 32 475 ,95 m2

Bonjour

Je dirais que l'angle vaut environ 46,06° et que l'aire vaut environ 598,63 m²

MM

Bonjour,

Fais à la va vite donc certainement faux :

Je trouve un angle de 60° et une aire correspondante soit m².

Bonjour,

Mes réponses :
arrondies
1. 60°
2. 346,42 m²

exactes :
1. 60°
2. m²

Démonstration :
Les énigmes précédentes ont permis d'établir l'équation de la courbe trajectoire :

donc ici
et la portée
donc ici

Il s'agit alors de calculer l'aire par intégration de 0 à L :

on obtient

Il ne "reste" plus qu'à étudier les variations de sur

SSI ( EXCLU)
ou

°

et alors A(60°)=346,42m²

selon mes calculs préliminaires et qui n'engagent que moi:

teta= 0.7137 rad cad 40.89°
aire=316.69 m²

Bonjour,

Merci pour cete énigme qui renouvelle bien le genre .

Sauf erreur, l'angle optimal est de 60°.
Et la surface maximale est alors de 346,41 m².

Pour trouver ces résultats, un artilleur aurait procédé comme suit...
La hauteur de la parabole est donnée par H = sin²(alpha).V²/2g
La portée du projectile est donnée par P = 2X = 2.sin(2.alpha).V²/2g
L'aire de la parabole est de 2/3 de celle du rectangle qui la contient, donc A = (2/3).P.H = (2/3).sin²(alpha).V²/2g.2.sin(2.alpha).V²/2g

En posant H* = Hauteur max = V²/2g, et sin(alpha)=s, cos(alpha)=c :
On obtient :  A = (8/3)H*².cos(alpha).sin3(alpha)

En prenant le carré et en posant sin(alpha)=s :
(1-s²).s6 = s6 - s8, se dérive en 6s5 - 8s7, qui s'annule pour s²=3/4.

D'où l'angle exact de 60° (sin=racine(3)/2 et cos=1/2).
La hauteur maximale H*=20m.
La hauteur exacte de la parabole H=15m.
Et l'aire exacte de la parabole :
A = H*².racine(3)/2
A = (V²/2g)².racine(3)/2
A = 200.racine(3).

Bonjour Jamo,
angle de tir 60° (valeur exacte)
aire =2003 m²346,4102 m² au cm² près
sauf erreur

Bonjour,

Je propose :

angle = 60°
Aire = 2003 = 346,41 m²

Encore merci pour toutes ces chouettes énigmes

Bonne journée

Rebonjour,

Détail des calculs :

Trajectoire :

x(t) = V₀ cos t
y(t) = V₀ sin t - (g t²)/2

X_max pour y=0  ==> t₁ = (2 V₀ sin)/g

X_max = V₀² sin(2) / g

Y_max en X_max / 2  ==> en t₁ / 2 = (V₀ sin)/g

Ymax = V₀² sin²() / (2 g)

Aire = 2/3 Xmax Ymax
     = (V₀⁴ sin(2) sin²())/(3 g²)


Pour maximiser cette aire il faut = 60°

L'aire vaut alors : A = V₀⁴ 3  / (8 g²)

Comme V0 = 20 m/s ==> Aire max = 2003



Bonne journée

Je viens de me rendre compte que si le reste de mes calculs sont justes l'angle vaut 60° et non 30°.

si je ne me suis pas trompé,
l'angle : 60°
l'aire 200sqrt(3) m², c'est-à-dire 346,41 m²

Vraiment tordu, je peut vous dire que j'en ai chié des ronds de chapeau avec mon niveau de première S ^^

angle : 60°
Aire : 346,410 m

Merci pour l'enigmo Jamo !

Bonne soirée à tous.

1) PFD
2) Utilisation de Green-Riemann
3) Résolution numérique

Je trouve, sauf erreur :    angle  = 1.05 radians soit  60.00 degrés

Je ne sais pas comment mais mon message est parti avec que je puisse donner l'aire.
Aire maximale = 1037.50 m^2

Bonsoir,

considérons la figure ci-dessous:


l'équation de la parabole de tir OAB est y=(tg)*x- g* x²/2(v cos )²
en remplaçant v par 20m/s et g par 10m/s²
on obtient l'équation  y = (tg)*x - x²/80 (cos )². La dérivée vaut y'= tg-2x/80 (cos )².
Cette dérivée annulée donne les coordonnées du sommet A de la parabole: on trouve tg= x/40(cos )²
soit x(A)= 40*sin*cos et y(A)=20*(sin)².
Le point B a pour coordonnées y(B)=0 et x(B)= 80 sincos
Archimède a montré que l'aire sous la parabole vaut 4/3 aire du triangle OAB
soit S(parabole) = 4/3*x(A)*y(A)  soit 4/3*800*(sin)³*cos = 3200/3*(sin)³*cos
La valeur exacte est donnée par l'intégrale S=y*dx sur l'intervalle 0-x(B)   soit S= tgx²/2 - x³/(3*80 (cos)²) où l'on remplace x par la valeur de x(B) le résultat est S=1066,6666...*(sin)³*cos
En utilisant un tableur,on fait varier pour obtenir la valeur de l'aire maximale sous la parabole S(max) =346,4101615 m² arrondi à
S =346,41m²  pour une valeur de l'angle  = 60°00
La différence entre le calcul de l'aire par la méthode d'Archimède et par  le calcul de l'intégrale est négligeable.

Amitiés, bien à vous

alpha = 60° pour une aire de 588 897,275 m²

mais est ce que le calcul de cette aire peut avoir une utilité concrete ?

Bonjour ,
je trouve 60° pour l'angle et une aire sous la courbe de 13856406 cm² soit 1385,6406 m²

angle: 79.59°
aire: 346.41 m²
Merci pour cette énigme qui allie à la fois physique (pour l'obtention de lequation de la parabole) mathématique (pour obtenir l'équation reliant l'aire à l'angle) et informatique (pour trouver la valeur de l'angle pour que l'aire soit maximale)

L'aire de la trajectoire est donnée par
A() = sin³()*cos()*Vo⁴ / (6.g²)

Une petite étude de fonction conduit à :

Aire maximale : 503  m² soit 86,60 m²
atteinte pour : = 60°


ce n'est pas si courageux de calculer les valeurs exactes puisque c'est à partir d'elles qu'on trouve les valeurs approchées ... ou alors le problème est plus compliqué que ce que j'ai fait ^^

L'équation de la trajectoire est:
f(x)= (-g/(2vo²cos²)).x²+(tan).x
f(x)=0 pour x=0 ou x=(vo²sin2)/g
Aire=₀^(vo²sin2)/gf(x)dx
A()=((2vo⁴)/(3g²)).sin³.cos
on sait que 0/2
Sur cet intervalle,étudions la variation de A:
A est croissante pour 0/3 et A est décroissante pour/3/2
L'aire est donc maximale pour =/3 rad, c'est-à-dire pour =60° et vaut A(/3)=2003 soit environ 346.41 m²

On peut montrer que l'aire balayée  vaut :


et atteint son maximum à

pour un angle de

Bonsoir.
L'angle est 60° exactement.
L'aire est 173,21 arrondi au centième de mètre carré le plus proche (3 dam²).
Soit t l'angle
En prenant comme unité le décamètre :
le projectile tombe à 2*2*cos(t)*sin(t) de son point de départ
la hauteur moyenne de la courbe est (2*sin(t))²/3

Bonjour jamo,

avec quelques équations, une intégration de polynôme, un peu de trigonométrie, je trouve :

- angle = 60 degrés "pile poil" ;
- aire  = 2003 m², soit 346,41 m² au centième de m².

J'espère avoir les bons résultats.

Merci jamo pour cette nouvelle énigme.

P.

salut

l'aire maximale est 346,41 pour l'angle 60°....

Bonjour,

Angle de lancement: 60°.
Aire maximale de la surface sous la parabole: environ 346,4 m².

A+  

Bonsoir jamo,

Je viens d'apprendre a l'ecole, l'application de la 2eme loi de Newton dans un mouvement plan (notamment les projectiles...), donc beau entrainement !

1. La courbe Cf du graphe de l'enonce represente la trajectoire du projectile, et est de meme la representation d'une fonction polynome de second degre... Elle est de la fomre: f(x)=ax^2+bx+c avec a0

La droite d'equation y=0 coupe Cf en 2 points de coordonnees (0;0) et (8;0) donc f(x)=ax(x-8)

Le point (3;6) a Cf (graphiquement) donc:
6=9a-24a
a=-6/15

f(x)=(-6/15)x^2 + (48/15)x=-0.4x^2+3.2x

Or f peut s'ecrire aussi sous forme de: f(x)=-g/(2v₀^2cos²)*x^2 + (tan)x

Par identification, tan =3.2 et =72.65 degre (arrondis au centieme par exces)

2. soit F la primitive de f donc F(x)=(-0.4/3)x^3 + (3.2/2)x^2 + k (k un reel)
L'aire A sous la courbe= F(8)-F(0)=34.13 m^2 (arrondis au centieme par default)

Pour la question 2. un internaute m'avait aidé en me donnant la formule ... aire

Au passage, j'ai une question concernant le numero 1, mais que je la poserai une fois que la correction est mise... J'avais essaye au debut une autre methode mais ca menait a plusieurs valeurs de et aucune d'entre elles sont egale a 72.65 degre (je suis persuade que 72.65 degre est la bonne reponse, car j'ai pris les coordonnees de quelque point de la courbe, et je les ai remplace dans l'equation de la trajectoire pour verifier si ca donne la meme reponse ...) J'ai pourtant verifie plusieurs fois la methode (qui mene a plusieurs valeurs pour ), mais je ne retrouve toujours pas mon erreur !

Merci pour l'enigme

L'angle est de /3, et l'aire maximale A vaut 200*3
Numériquement, =60° et A=346,41 m²

Bonsoir,

Ma réponse :

Angle : 60°

Aire : 346,41

Merci pour cette enigme passionante !

Un petit ajout:

Pour ma part, j'avais considere que chaque carreau vaut 1m en realite ...

Merci

Clôture de l'énigme

L'aire maximale est de 2003 (soit environ 346,41 m²), pour un angle de 60°.

Contrairement à la détermination de la longueur de parabole maximale, ce problème peut se résoudre de manière exacte.

Après la portée maximale, la longueur maximale, et l'aire maximale, je vous laisse méditer pour savoir sur quoi portera la prochaine énigme dont la parabole sera encore en vedette !

A ce que je vois, la figure n'a pas d'importance ??

J'ai mal compris l'enonce ...

J'ai bien fait de même pas essayer de réfléchir à cette enigme. Je ne comprend rien dans ce domaine !

Bonjour Jamo,

Je suis désolé d'avoir oublié le carré dans m².
Merci pour le smiley.

Jun_Milan >> la figure servait juste d'illustration. De plus, aucune unité n'était indiquée sur les axes, donc on ne pouvait pas s'en servir.

Je ne comprend pas pourquoi on accorde la réponse a intégral alors que pour totti1000 on ne l'a pas accordée, et là personne ne crie a l'injustice?