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Niveau 4 *
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Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite

Posté par
jamo Moderateur
08-04-13 à 10:47

Bonjour tout le monde,

et voici la suite de l'énigme précédente ...

Cette fois-ci, Bob l'escargot part du pied du puits, au point K sur la figure ci-dessous.
Il souhaite toujours rejoindre le plus vite possible le point P sur le bord intérieur, diamétralement opposé au point D sur le bord extérieur et à la verticale de K.

Bob se déplace toujours à la vitesse constante de 6 cm/min quand il est en terrain horizontal, mais seulement à 5 cm/min quand il monte sur la paroi verticale du puits.

Dimensions du puits : 1,60 m et 1m pour les diamètres, et 1,20 m pour la hauteur.

Question : Quelle est la durée minimale pour aller du point K au point P ? Donner la réponse en secondes en arrondissant au centième de seconde le plus proche.

Bonne recherche !

PS : Pour information, au moment où je publie cette nouvelle énigme, le taux de réussite de l'énigme 295 est d'environ 58%. Cette nouvelle énigme nécessitant d'avoir bien maitrisé la précédente, vous allez devoir redoubler de prudence et de rigueur, en ce qui concerne les unités, les arrondis, ...

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Posté par
masab
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 11:45

gagnéBonjour,

La durée minimale pour aller du point K au point P est égale à
2976.73 secondes
Merci pour cette suite beaucoup plus intéressante !

Posté par
sbarre
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 11:54

gagnéBonjour,
je vise ce mois ci la precipitation (euh non la vitesse...).

Je dirais 2976.73 secondes minimum  pour aller de K a P.

au vu des 58% annonces pour l'enigme precedente je tremble.....

Posté par
Chatof
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 12:49

gagné2976.73 secondes

bonjour et merci Jamo

Posté par
dpi
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 12:50

perduBonjour,

En espèrant ne pas à avoir fabuler..

Un escargot virtuel aurait beau jeu d'aller par
le fond vers la génératrice du point k et mettrait 2740 s.

Nous éliminerons aussi l'idée (pas si farfelue) que sa vitesse
d'ascension serait variable en fonction de l'angle par rapport
à la verticalité...

Donc il devrait choisir une oblique le portant vers une tangente
et un arc idéal.
Le mien mettra 2989.03 secondes

Posté par
panda_adnap
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 13:25

perduAie aie aie, c'est vache comme remarque... Ca me donne l'impression d'etre comdamne au double poisson... Bon, du coup, tant pis, je me lance...
D'apres ma compréhension du probleme, le pauvre escargot n'a pas d'autre choix que de monter puis de se reporter au probleme précédent.
Il doit monter 120cm a 5 cm par min, soit un périple de 24 minutes, soit 1440s. On ajoute ca à la réponse précédente et on obtient :
3685,93s

Elle est fraiche ma belle arrete, elle est fraiche !!

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 14:15

perduJe trouve en calculant le chemin en ligne droite..3101,09 s (en arrondissant au centième de s près).

A moi le poisson..

Posté par
Kidam
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 16:28

gagnéBon bah, faut bien se lancer.

J'ai recherché à quelle distance du point D notre escargot devait basculer sur la partie horizontale pour que son temps de parcourt soit minimal.
J'ai appelé cette distance DM.
Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Dans le triangle DMK (rectangle en D)
KM²=DM²+DK² (avec DK=1.2m)
d'où KM=(DM²+1.44)

Dans le triangle MAN (rectangle en N)
MN²=AM²-AN² (avec AM=0.8m et AN=0.5m)
d'où MN=0.6245m

On note également que:
cos(NAM)=NA/AM=0.625
d'où l'angle NAM51.32°

Arc(PN)=Arc(PF)-Arc(NE)-Arc(FE)
Avec : Arc(PF)= × AF[ smb]environegal[/smb] 1.571m
Arc(NE)= 2 × × AF × NAM / 360 0.448m
Arc(FE)= DM × AF / AD = DM × 0.625

Nous avons donc les différents distances de son parcourt exprimées en fonction de DM.
Il suffit maintenant de pondérer ces distances par la vitesse et de faire varier DM pour trouver un minimum.

J'obtiens alors un temps minimum de T=2976.73s

J'espère ne pas avoir fait d'erreur stupide de conversion et tout le toutim !

Merci pour l'énigme

Posté par
rschoon
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 16:56

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse : 2976,73 secondes

Merci pour l'énigme

Posté par
Wil-
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 17:08

perdu3310.8s

Posté par
rogerd
Bob 08-04-13 à 17:35

gagnéMerci encore.

Je trouve 2976,73 secondes.

Posté par
Alexique
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 18:47

perduBonjour !

J'ai mis du temps à comprendre qu'on pouvait "passer dans le plan"...
J'obtiens sans aucune mais alors aucune certitude 3110,63 s et si c'est correct, le temps que je trouve la réponse, l'escargot aurait eu le temps de grimper 5 puits comme celui-là en spirale ! (idée pour une future énigme...)

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 19:38

gagnéRe-bonjour Jamo,

Sauf erreur, évidemment, le temps minimum en secondes est :   \small T=60\left(\dfrac{24}{\cos(\arcsin\frac{25}{48})} - \dfrac{25}2\tan(\arcsin\frac{25}{48}) + \dfrac53\left(\sqrt{39}+5\pi-5\arccos\frac58\right)\right)
ce qui donne environ :   T = 2976,73 s

On peut noter que la bonne vieille loi de la réfraction s'applique à la limite  parcours "vertical" / parcours horizontal .

Posté par
brubru777
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 21:12

perduBonjour,

Je trouve 4724,20s.

Mon raisonnement :

On appelle \alpha, l'angle avec lequel l'escargot atteint le bord du puits.

Distance verticale (en m)
d_v = \sqrt{1,2^2 + 1,6^2\alpha^2}
Vitesse verticale (en m / s)
v_v = 0,05 / 60
Temps (en s)
t_v = d_v / v_v = 1200\sqrt{1,44 + 2,56\alpha^2}

Distance horizontale (en m)
d_h = \sqrt{1,56} + 1 * (\pi - \theta - \alpha)
Vitesse horizontale (en m / s)
v_h = 10^{-3}
Temps (en s)
t_h = d_h / t_h = 3494,92746 - 1000\alpha

Temps total
t = t_v + t_h = 1200\sqrt{1,44 + 2,56\alpha^2} + 3494,92746 - 1000\alpha

On dérive en fonction de \alpha

t' = {1 \over 2}{1200 * 2,56 * 2\alpha \over \sqrt{1,44 + 2,56\alpha^2}} - 1000
t' = {3072\alpha \over \sqrt{1,44 + 2,56\alpha^2}} - 1000

Le temps est minimum pour t' = 0
=>
{3072\alpha \over \sqrt{1,44 + 2,56\alpha^2}} - 1000 = 0
{3072\alpha \over \sqrt{1,44 + 2,56\alpha^2}} = 1000
{9437184\alpha^2 \over 1,44 + 2,56\alpha^2} = 1000000
9437184\alpha^2 = 1440000 + 2560000\alpha^2
6877184\alpha^2 = 1440000
\alpha = \sqrt{1440000 \over 6877184} = 0.4575893668

t = 4724,195535s

Merci pour l'énigme.

Posté par
Alishisap
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 21:16

perduBonjour et merci,
La durée minimale pour aller de K à P est d'environ 3310,80 secondes.

Posté par
Alishisap
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 21:48

perduDémonstration.

Soit t le temps minimum que peut mettre Bob à aller de K à P.
D'abord, Bob doit se rendre de K à D. On notera le temps minimum qu'il pourra mettre à faire ce chemin t1.
Soit une distance de 1,2m.
Comme il monte sur la paroi, sa vitesse est de 5cm/min.
1 min 5 cm
1 min 0,05 m
t1 min 1,2 m
t_1=\dfrac{1,2}{0,05}=24\text{ min}
 \\ t_1=t_1\times60=24\times60=1440\text{ sec}

Ensuite, il doit se rendre de D à P. On notera le temps minimum qu'il pourra mettre à faire ce chemin t2.
D'après la démonstration de la précédente énigme Enigmo 295 : L'escargot et le puisatier, on sait que t_2=300+500\pi\text{ sec}.

t=t_1+t_2=1440+300+500\pi=\boxed{1740+500\pi\approx3310,80\text{ sec}}

Je ne reviendrais pas sur la clarté de l'énoncé comme je l'ai déjà fait, en revanche je trouve que l'idée de faire une énigme qui dépend d'une autre n'est pas bonne.
Si on a faux à la première et qu'on a pas rectifié son erreur entre-temps (si on s'en rend compte) comme je l'ai fait par exemple, forcément la seconde suivra.
Je pense que c'est mieux de ne proposer que des énigmes indépendantes les unes des autres pour cette raison.
Des énigmes du même style, pourquoi pas (par exemple les énigmos 287/288) mais non dépendantes.
Enfin, c'est vous le posteur, et puis d'ailleurs si ça se trouve utiliser le même chemin que la première énigme n'est pas la bonne solution et si tel est le cas alors je m'excuse.

À bientôt !

Posté par
Diablow
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 08-04-13 à 22:22

gagnéBonjour,

durée mini = 2976.73 s

A mon avis, le problème se résume à savoir dans quelle direction Bob doit partir. Une fois arrivé sur le bord du puis, il prend la tangente au cercle intérieur et longe le bord du puis jusqu'à arriver en P. Donc variable du problème est x = distance (DA).

La distance (KA) est égale à (x²+1.44). Elle est parcourue à la vitesse de 5cm/mn
La distance (A'b) est constante quelque soit x = 0.39. (Un ptit coup de Pythagore).
La longueur de l'arc de cercle (bP) est egale au rayon (0.5) multiplié par (POb)=--.
est constant cos()=0.5/0.8, vaut x/0.8
Ces deux dernières distances sont parcourues à une vitesse de 6cm/mn

Il suffit donc de minimiser

1200 (x²+1.44)+1000*[-arc cos(0.5/0.8) - x/0.8)]

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Posté par
Chatof
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 09-04-13 à 11:08

gagné2976.73 secondes

bonjour et merci Jamo

et si je ne me suis pas trompé, Xcas   [lien] me donne la valeur exacte :

t=500\times \pi + 30\times\sqrt{1679} + 100\times\sqrt{39}-500 \times \mathrm{acos}\left(\frac{5}{8}\right)

Posté par
seb_dji
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 09-04-13 à 12:28

perduje trouve 73minutes 40,79 secondes

Posté par
frenicle
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 09-04-13 à 15:34

gagnéBonjour jamo,

Cette fois-ci je trouve 2976,73 secondes.

Merci pour l'enigmo

Posté par
ksad
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 09-04-13 à 17:56

gagnévu la remarque dans l'énoncé, ça sent le pâté (ou plutôt le pâté de poisson), mais je tente quand même le coup : (et j'ai relu plusieurs fois l'énoncé... mais je me connais )
je propose un temps total de 2976.73 secondes.

Posté par
castoriginal
Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 09-04-13 à 18:23

gagnéBonsoir,

voici de nouveau en image une réponse au problème de l'escargot.

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Bien à vous

Posté par
wow1296
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 10-04-13 à 07:45

perduBonjour,

Je pense que le temps minimal est de 2940,00 s, soit 49 min

Cette fois-ci, la distance minimale à parcourir es de 1,74 + 1,20 = 2,94 m = 294 cm

t = \frac{d}{v} = \frac{294}{6} = 49 min = 2940 s

Posté par
RickyDadj
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 10-04-13 à 09:53

gagnéBonjour Jamo, bonjour tous!
Je propose un temps de 2976,73 secondes, soit encore 49 minutes 36 secondes et 73 centièmes.
Je crois qu'il n'y a ps d'erreur cette fois... OK!

Posté par
RickyDadj
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 10-04-13 à 10:08

gagnéSelon moi, le trajet le plus court ressemble à celui dessiné en jaune sur l'image. Noter que (12) est tangent au petit cercle. La longueur d'un tel trajet est une fonction d'une seule variable (par exemple, l'angle entre OP et O1), la durée aussi. L'étude de cette fonction permet de déterminer son minimum.
C'est d'ailleurs un peu ce que j'ai fait à l'énigme précédente, en suivant plutôt la tangente au petit cercle passant par D.
Merci pour ces exercices cérébraux!

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Posté par
13matou
l'escargot, la suite... 10-04-13 à 14:29

perduBonjour à tous,
3187,46 secondes me parait être la réponse,
mais j'ai l'impression d'être tombé dans le...trou

Posté par
dpi
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 10-04-13 à 17:05

perduBonjour,

Pour sauver l'honneur simplement.

A priori on pense que la tangente parallèle à DP
est la meilleure,mais en optimisant on trouve mieux
et donc 2976.73 sec devrait être la bonne réponse.

Posté par
fontaine6140
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 10-04-13 à 22:25

gagnéBonjour Jamo,

La durée minimale pour aller du point K au point P est de 2976.73 (s)
Merci Geogebra et Jamo pour l'énigmo.

Posté par
Luc1408
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 11-04-13 à 02:29

gagnéBonjour,

Bob s'il est malin réussira à rejoindre le point P en 2976,73s au minimum.

La recherche est intéressante ! Pour ne décrire que les grandes étapes :
On choisit un repère (O,i,j,k) avec O le centre du puits à sa base et K(-R,0,0) ; D(-R,0,H) : P(r,0,H).
On décrit un mobile M(x(t),y(t),z(t)) partant à t=0 du point K et décrivant la partie cylindrique en sens anti-horaire avec un angle par rapport au vecteur j, à une vitesse v=1/12 cm/s. Le mobile décrit un angle (t) avec le vecteur -i tq (0)=0.
On démontre assez facilement que :
z(t)=sinvt
y(t)=Rsin
z(t)=-Rcos
avec =cos*v*t/R
On choisit un point D' situé sur la circonférence extérieure et supérieure du puits, appartenant à la trajectoire de M, avec un angle _D' par rapport à -.
Bob échouera sur D' pour un angle = atan(H/(R*_D')), après un temps t_D' = R_D'/(vcos)
A partir du point D', Bob usera de l'expérience acquise lors de l'enigmo 295 pour se diriger selon la tangente au cercle interne puis en suivant sa circonférence, avec une vitesse v' = 1/10 cm/s, il mettra un temps t_P = (1/v)*((R2-r2) + r*(/2+asin(r/R)-D')).
Ensuite un tableur type Excel fera l'affaire pour déterminer avec suffisamment de précision la valeur de D' minimisant le total tD'+tP. Pour info :
D'=52,43°
= 58,62°.

Merci pour l'énigme, jamo !

Posté par
infophile
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 12-04-13 à 10:55

perduBonjour,

J'imagine que je vais de nouveau me planter dans les applications numériques mais bon voici ma méthode :

Notre brave escargot, initialement au pied du puit, veut se rendre à la surface de celui-ci, donc devra à un moment donné monter sur celle-ci en passant par un point G sur le grand cercle extérieur C_2. On a vu dans l'énigme précédente quel est le chemin de distance minimale pour rejoindre le point P : il s'agit de tirer une corde de P à G en la tendant au maximum c'est-à-dire en épousant la courbure du cercle intérieur C_1 puis relier à G en étant tangent au cercle en B. Nous avons calculé, dans le cas où G=D que la distance de la corde rouge était \color{red} L_0=\sqrt{r_2^2-r_1^2}+r_1\left[\pi-\arccos\left(\frac{r_1}{r_2}\right)\right]. On paramétrise le déplacement du point G sur C_2 via l'angle \alpha=\widehat{GAD} et on note \color{blue} L_1(\alpha) la longueur de la corde bleue. Il est clair que les segments [BG] et [CD] ont même longueur. Ainsi la différence de longueur entre la corde rouge et la corde bleue est l'arc de cercle \overset{\frown}{BC}, dont la longueur varie linéairement avec \alpha donc on a \overset{\frown}{BC}=\alpha r_1={\color{red} L_0}-{\color{blue} L_1(\alpha)} d'où \boxed{L_1(\alpha)=L_0-\alpha r_1}.

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

A partir du point G on a déterminé la distance minimale pour rejoindre le point D. Mais quelle est la distance minimale pour rejoindre le point G partant du pied du puit K ? Comme l'escargot se déplace sur un cylindre, ses géodésiques sont des hélices. Mais nous allons nous affranchir de cette considération. Déroulons simplement le patron du cylindre en un rectangle de côtés [KD] et [DM]. Sur ce rectangle le point G se trouve à une distance \alpha r_2 du coin D, donc la distance plane KG est (par pythagore) \sqrt{KD^2+DG^2}={\color{green}\sqrt{h^2+\alpha^2 r_2^2}}. J'ai tracé ce segment sur un morceau de sopalin à plat je l'ai ré-enroulé et on visualise bien l'hélice. La distance minimale sur cette portion de cylindre est donc \boxed{L_2(\alpha)=\sqrt{h^2+\alpha^2 r_2^2}}

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Par conséquent la distance totale parcourue par l'escargot quand il passe par le point G est : \boxed{L(\alpha)=L_1(\alpha)+L_2(\alpha)=L_0-\alpha r_1+\sqrt{h^2+\alpha^2 r_2^2}}. Il reste alors à déterminer quel est le point G - c'est-à-dire quel \alpha\in [0,\widehat{EAD}]=\left[0,\pi-\arccos\left(\frac{r_1}{r_2}\right)\right] - qui minimise la distance totale L(\alpha). Pour cela 2 méthodes :

Méthode 1 : Analytique

On dérive la fonction \alpha\mapsto L(\alpha), on obtient L'(\alpha)=-r_1+\frac{r_2^2\alpha}{\sqrt{h^2+\alpha^2 r_2^2}} et le minimum est atteint lorsque \color{red}\alpha_{opt}=\frac{r_1h}{r_2\sqrt{r_2^2-r_1^2}}

Méthode 2 : Géométrique

Intuitivement on imagine que l'escargot devra monter sur la surface en faisant le même angle sur la partie verticale et horizontale au point G, autrement dit \widehat{DGK}=\widehat{BGA}\Leftrightarrow \arctan\left(\frac{\alpha_{opt} r_2}{h}\right)=\arctan\left(\frac{r_1}{\sqrt{r_2^2-r_1^2}}\right) et donc de même on en tire la même expression pour \alpha_{opt}.

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

La distance minimale parcourue par l'escargot est donc (après simplification) :

\normalsize  \boxed{L(\alpha_{opt})=\sqrt{r_2^2-r_1^2}\left(1+\frac{h}{r_2}\right)+r_1\left[\pi-\arccos\left(\frac{r_1}{r_2}\right)\right]}

Application numérique (c'est là que ça se gâte en général )

On prend r_1=0.5~m, r_2=0.8~m et h=1.2~m et on obtient \color{blue} L_{opt}\approx 268.42~cm. Comme l'escargot ne se déplace pas à la même vitesse sur la partie verticale et horizontale, on a besoin de L_1(\alpha_{opt})\approx 114.70~cm et L_2(\alpha_{opt})\approx 153.72~cm, et les vitesses respectives sur ces deux longueurs sont v_1=6~cm/min et v_2=5~cm/min, donc les durées correspondantes en secondes sont t_1=60\left(\frac{L_1}{v_1}\right)\approx 1146.98~s et t_2=\left(\frac{L_2}{v_2}\right)\approx 1844.67~s. Finalement :

\normalsize  \color{red} \boxed{t_{min}\approx 2991.66}

Merci pour l'énigme

Posté par
geo3
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 12-04-13 à 17:31

gagnéBonjour
Un peu tard mais comme on dit il vaut  mieux tard que jamais
Je dirais  2976.73 sec
A+

Posté par
torio
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 12-04-13 à 19:17

gagné2976.73 secondes


A+
Torio

Posté par
totti1000
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 14-04-13 à 23:26

gagnéSalut jamo,

Je propose une durée minimale de 2976,73 sec.

Merci.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 15-04-13 à 16:07

gagné2976,73 secondes.

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Enigmo 296 : L\'escargot et le puisatier, la suite

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 15-04-13 à 17:08

perduBonjour,

Voici ma réponse :

La durée minimale pour aller du point D au point P est d'environ 4 824,61 s.

Merci !

Posté par
pdiophante
énigme n°296 16-04-13 à 00:00

gagnéBonjour,

durée minimale pour aller de K en P:
49 minutes 36 secondes 73 centièmes

Posté par
franz
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 16-04-13 à 13:50

gagné49 minutes 36 secondes et 73 centièmes
Merci pour cette énigme très intéressante

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 18-04-13 à 17:01

perduBonjour,
Avec geogebra, j'arrive, après une seule tentative et donc une très forte probabilité d'erreur à:
2352,23 secondes.
Quels calculs...

Posté par
RayaneCTX
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 20-04-13 à 05:07

perduBon je tente ma chance,
je dirais environ 3570 secondes.

Posté par
pierrecarre
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 21-04-13 à 00:58

perduBonjour !

Ma solution : 4373,10 secondes.

Cordialement,

\pi r^2

Posté par
pierrecarre
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 21-04-13 à 08:56

perduMille excuses pour ma solution erronée de cette nuit !

Ma réponse : 4431,68 secondes.

Cordialement,

\pi r^2

Posté par
quennzouzou
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 21-04-13 à 11:29

perdu* challenge en cours *

Posté par
dandave
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 22-04-13 à 05:37

perduSalut,

52 min 48 s 780 ms

merci encore une fois

Posté par
gadzart
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 24-04-13 à 17:39

perduce problème peut-être ramené au plan.
Lorsqu'il monte Bob va 5/6e moins vite on pose x le décalage entre d et d'(le point ou bob passera).
Enfin bref.. La distance que Bob devra parcourir sera de 1.91+2.87=4.78 soit 478cm
Soit 79min et 40sec.

Posté par
ocepdh
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 26-04-13 à 16:50

perduBonjour,

Pour trouver le chemin le plus court (donc le plus rapide), il suffit de trouver le meilleur angle de départ pour minimiser le trajet en fonction de la formule générale de la montée/traversée du puits.
Pour trouver cet angle, il suffit de calculer la valeur telle que la dérivée de la formule générale s'annule.

Formule générale:
L = 120/cos() + 1039 + 50( - 120*tan/80 - acos(5/8))
L'() = 1/cos()2*(120*sin()-50*120/80)
=> On en déduit: L'() = 0 pour = 38,6821°
Une remarque intéressante est que l'angle obtimum ne dépend pas de la hauteur du puit: sin() = 50 / 80

Cependant l'angle limite maximum d' ne pas être supérieur l'angle formé par l'intersection sur le grand diamètre de la tangente au petit cercle passant par P  
On trouve que cet angle doit être inférieur à 56,262°. On en déduit aussi que la hauteur maximum pour appliquer un angle 38,6821° est d'environ 2,24m
38,6821° < 56,262° => On peut appliquer notre formule pour = 38,6821°

t = L(38,6821°) * 10 = 2684,21 s

Posté par
seb_dji
rectification 26-04-13 à 16:58

perdu2684.21 secondes

Posté par
Kidam
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 26-04-13 à 18:19

gagnéJ'ai bien l'impression que je me suis trompé. En dérivant ma fonction et en étudiant son signe, je trouve un DM pour lequel mon escargot ne met que 2684.21 sec... J'enrage.

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 01-05-13 à 14:58

Clôture de l'énigme

La bonne réponse était : 2976,73 secondes

Certains ont cherché le plus court chemin en travaillant sur le patron et en allant tout droit du point de départ jusqu'au point de tangence.
Malheureusement, les vitesses étant différentes, cette méthode ne peut pas fonctionner !

Posté par
infophile
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 01-05-13 à 15:37

perduEffectivement, j'ai oublié de pondérer par les vitesses dans la minimisation, dommage encore une fois bonne méthode mais mauvaise application

Merci pour l'énigme sympa!

Posté par
fontaine6140
re : Enigmo 296 : L'escargot et le puisatier, la suite 01-05-13 à 16:09

gagnéBonjour Jamo,

J'ai beaucoup hésité pour répondre ce que j'ai posté car
si mathématiquement la solution est correcte,
d'un point de vue physique elle ne l'est pas .
Ce serait oublier la loi de composition des vitesses.
La vitesse en oblique sur la surface latérale devrait se décomposer en une vitesse tangentielle horizontale constante et une vitesse de montée verticale constante.
( il n'est pas correct d'affirmer que

Citation :

Bob se déplace toujours à la vitesse constante de 5 cm/min quand il monte sur la paroi verticale du puits.
)

La réponse que j'ai fournie est donc celle de l'ancien prof de math.

Merci pour cette énigme très intéressante

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Challenge (énigme mathématique) terminé .
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