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ensemble

Posté par
luciole64
28-07-22 à 22:04

bonjour,
J'ai deux ensembles A et B =BA ,
J'ai l'équation suivante:AB=A(BAbarre). Pourquoi ne puis je pas écrire B=(BAbarre) ? puisque c'est faux, je ne peux pas identifier B à (BAbarre) Il y a quelque chose que je ne comprend pas. Alors que l'équation est juste. Abarre= complémentaire de A.
luciole64

Posté par
LeHibou
re : ensemble 28-07-22 à 22:43

Bonsoir,

Prenez un exemple, d'abord avec A et B non disjoints :
A = {a ; b}
B = {b ; c}
= {a ; b ; c}
AB = {a ; b ; c}      (membre de gauche de l'équation)
Abarre = {c}
BAbarre = {c}
A(BAbarre) = {a ; b ; c}      (membre de droite de l'équation)
L'équation est bien vérifiée
Et pourtant :
B = {b ; c}
BAbarre = {c}
La "simplification" de l'équation par A ne marche pas.

Maintenant, faites la même démarche avec A et B disjoints :
A = {a ; b}
B = {c ; d}
AB = = {a ; b ; c ; d}
Dans ce cas, Abarre = B, donc BAbarre = B et A(BAbarre) = AB
L'équation est toujours vérifiée.
Mais on a vu au passage que, dans ce cas,  BAbarre = B
La "simplification" de l'équation par A marche.

La différence entre les deux cas est que, dans le premier, AB et dans le second, AB =

Le premier cas est un contre-exemple quand AB
Le second cas n'est PAS une démonstration que ça fonctionne tout le temps quandAB = , mais c'est une piste de recherche

Posté par
AitOuglif
re : ensemble 28-07-22 à 22:54

Bonsoir
Soit A une partie non vide d'un ensemble non vide E.
A\bigcup \emptyset= A\bigcup A, pourtant tu ne peux pas en générale en déduire que A=\emptyset!
La simplification que tu souhaites faire, qu'est-ce que c'est é fait? C'est une même opération effectuée à gauche dans les deux membres. Ce serait, pour l'égalité X\bigcup A=X \bigcup B composer par une partie Z avec une opération * sur les parties, telle que Z*X=\emptyset. Je te laisse poursuivre la réflexion…
Remarque: ton égalité est une identité, pas une « équation » à proprement parler.

Posté par
AitOuglif
re : ensemble 28-07-22 à 22:55

Pardon LeHibou, je pensais que personne n'avait répondu(je suis trop lent!!!).

Posté par
AitOuglif
re : ensemble 28-07-22 à 23:00

Si tu permets LeHibou, je complète ma réponse…(imprécise):

Existe-t-il une partie Z et une opération * telle que :

Z*X=\emptyset
Z*(X\bigcup Y)=(Z*X)\bigcup Y?

Posté par
LeHibou
re : ensemble 28-07-22 à 23:01

Bonsoir AitOuglif,

Tu n'as bien sûr pas à t'excuser, et merci pour ta contribution, plus formelle que la mienne, et qui la complète bien

Posté par
LeHibou
re : ensemble 28-07-22 à 23:02

Et je te laisse bien volontiers continuer !

Posté par
carpediem
re : ensemble 29-07-22 à 13:05

salut

pour compléter encore en notant A* le complémentaire tu as la formule des probabilités totales : pour tous ensembles A et B :

B = (A \cap B) \cup (A^* \cap B)

donc en français :

A U B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B
A U B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B et pas à A

dans A U B il y a les éléments qui appartiennent à :
  -  A et pas à B
  -  A et à B
   - B et pas à A

les deux premières se résument en : A (et peut-être à B)



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