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Ensemble de complexe

Posté par babbibel (invité) 12-08-04 à 14:16

Bonjour à tous
Je voudrais savoir si quelqu'un peut me dire à quoi ressemble l'ensemble
des points z (z     -  )
tel que  :

|z+1|2 + |z|2 = 1

Je me demandais si ce n'était pas le cercle de centre (-1;0) et
de rayon 1, mais c'est louche

Posté par
muriel Correcteur
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 14:25

bonjour,
non ce n'est pas ce cercle, car il correspond à cet ensemble:
l'ensemble des points d'affixe (je pense que tu as oublier ce mot avant)
z tel que:
|z+1|²=1
ce qui se traduit par:
AM²=1
où A a pour affixe -1
veux tu de l'aide pour ton équation?

Posté par babbibel (invité)re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 14:43

volontié, mais je voudrais surtout une méthode sûre et efficace pour
me dépétrer de ces histoires d'ensemble.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 15:09

Avec z = x + iy

|z + 1|² =  |x + iy + 1|² = (x+1)²+y²

|z|² = x² + y²

|z + 1|² + |z|²= 1
(x+1)²+y² + x² + y²= 1

x² + 2x + 1 + y² + x² + y² = 1
2x² + 2y² + 2x = 0
x² + y² + x = 0
(x + (1/2))² + y² = 1/4

C'est l'équation du cercle de centre (-1/2 ; 0) et de rayon 1/2
-----
Sauf distraction.  

Posté par
muriel Correcteur
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 15:14

je ne sais pas si cette méthode est sûre ou efficace, mais c'est
l'une des méthodes que je préfère (donc c'est un point
de vue de goût).
tu as cette ensemble à chercher:
l'ensemble des points M d'affixe z (z
\ )
tel que :
|z+1|² + |z|² = 1

moi, en général, je me place dans le plan,
donc
soit A le point d'affixe -1 et O l'origine
|z+1|² est le module au carré de z+1 donc
|z+1|²=AM²
de même |z|²OM²

donc on a a trouver les points vérifiant ceci:
_ les points M ne sont pas sur l'axes des réels (
\ )
_ AM²+OM²=1 (*)

étudions cette dernière.
ceci fait référence à la notion de barycentre (en tout cas quand je vois
des égalités de cette forme, je pense aux barycentres)
soit G le barycentre de (A,1) et (O,1)
G existe, car 1+1=2 0
on a en vecteur:
GA+GO=0
en utilisant la relation de Chaslès dans l'égalité (*) et en faisant
intervenir G, on a:
(vect(AG)+vect(GM))²+(vect(OG)+vect(GM))²=1
AG²+GM²+2*vect(AG).vect(GM)+OG²+GM²+2*vect(OG).vect(GM)=1
en factorisant, on a:
AG²+OG²+2*MG²=1

tu paux calculer les valeur de AG et OG en cherchant l'affixe de
G.
(en vecteur)
GA+GO=0
donc
OG=OA/2
g a pour affixe -1/2
et OG²=1/4
AG²=|-1/2+1|²=1/4

d'où:
2*MG²+1/2=1
MG²=1/4
et ceci définit le cercle de centre G et de rayon 1/2.

maintenant, il faut chercher les points qui appartiennent à ce cercle et qui
ont pour affixe un réel, on en a au plus 2 (intersection d'une
droite et d'un cercle).
_MG²=|z+1/2|²=1/4
_ z, réel
donc ceci se traduit par:
(z+1/2)²=1/4
c'est à dire:
(z+1/2)²-1/4=0
(z+1/2-1/2)*(z+1/2+1/2)=0
z*(z+1)=0
d'où z=0 ou z=-1
donc l'ensemble cherché est le cercle de centre G, de rayon 1/2 privé
des points A et O.

ps: à mon avis, il doit avoir un autre moyen de trouver ces 2 points,
mais sur le coup je ne vois pas.
cette méthode fonctionne à tous les coups

j'espère que tu as compris, sinon, n'hésite pas.

Posté par
muriel Correcteur
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 15:19

bon ben, du coup tu as deux méthodes, merci J-P, je n'y avais
pas penser.
disons que j'aime bien les barycentres, alors quand je peux les utiliser,
je le fais.

Posté par
muriel Correcteur
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 15:21

J-P, tu as oublié d'enlever 2 points. (je pense que c'est
une faute d'inattention)

Posté par
dad97 Correcteur
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 15:35

On peut aussi utiliser l'expression |z|²=zzz
est le conjugué de z (désolé mais je ne vois pas comment mettre la
barre au dessus du z)

|z+1|²+|z|²=1
devient (z+1)(z+1)+zz=1

soit en développant :

zz+z+z+1+zz=1

soit zz+(z+z)/2=0

donc (z+1/2)(z+1/2)-1/4=0

i.e. |z+1/2|²=1/4

et les points d'affixe z de C\R sont bien ceux du cercle de centre
le point d'affixe -1/2 et de rayon 1/2 privé des points d'affixes
-1 et 0

salut

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 15:40

Exact mu, je n'avais pas vu que z    
-  .

Le principe de calcul reste évidemment bon.







Posté par babbibel (invité)re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 16:55

Alors là ! Je ne sais plus quoi dire ! Merci à tous !  
mu   toujours aussi efficace...
JP et dad enchanté

Posté par babbibel (invité)re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 17:18

Première méthode  : OK !
Deuxième méthode : j'ai pas tout suivi...
Troisième méthode : OK !

en clair mu,  sans calcul ni opération, quelle démarche fais tu ? Le
barycentre sert à quoi dans tout ça ??

Posté par
muriel Correcteur
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 18:00

c'est vraie que ce n'est pas du calcul pur, mais c'est
surtout du raisonnement. D'autre part, l'intérêt ici, c'est
qu'on n'a pas besoin de travailler avec les complexes.
qu'est ce qui t'a perdu dans le raisonnement?
comme tu peux les voir, le barycentre est utilisé dans des cas comme celui
ci (cas simple avec 2 points, mais peut se généraliser):
a*MA²+b*MB²=c
où a, b et c sont réels et
tel que a+b 0

en prenant le barycentre C de (A,a) et (B,b),
on obtient une équation de ce type:
(a+b)*MC²=c-a*AC²-b*BC²
ce qui facilite la recherche des points vérifiant l'ensemble.

si le 2ème membre est négatif, il n'y a pas de solution;
si il est nul, il est unique et c'est C;
si il est positif, c'est le cercle de centre C.

est ce que ceci t'aide à comprendre?

Posté par
muriel Correcteur
re : Ensemble de complexe 12-08-04 à 20:54

je me permets d'écrire ce petit message,
je m'excuse d'avance, babbibel, si tu me pose une questionsur
ce que j'ai écrit, de ne pouvoir te répondre avant mardi. Je
ne pourrais pas me connecter avant cette date.
merci, pour la compréhension que tu feras.
@+
ciao

Posté par babbibel (invité)ya quelqu un ? 13-08-04 à 15:01

comment montrer que pour que z    à cet ensemble
il doit etre de la forme (ei -1 ) /2

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Ensemble de complexe 13-08-04 à 15:19

Une manière parmi d'autre d'aborder le problème:

e^(i.Theta) = cos(theta) + i.sin(theta)

|e^(i.Theta)|² = cos²(theta) + sin²(theta) = 1

|e^(i.Theta)| = 1

et donc e^(i.Theta) représente un vecteur unité faisant un angle theta
avec l'axe des réels (theta mesuré à partir de l'axe des
réels et positivement dans le sens antihorlogique).

(1/2).e^(i.Theta) représente un vecteur de norme = 1/2 faisant un angle theta avec
l'axe des réel

Avec z = (1/2).e^(i.Theta)
si theta parcourt l'intervalle [0 ; 2Pi[, le point  représentant
est sur le cercle de centre à l'origine et de rayon 1/2.

Si on décale de -1/2, on a:
z =  -1/2 + (1/2).e^(i.Theta)  
si theta parcourt l'intervalle [0 ; 2Pi[, le point  représentant
est sur le cercle de centre (-1/2 ; 0) et de rayon 1/2.
-----
Ce n'est peut-être pas la méthode attendue.

Posté par babbibel (invité)re : Ensemble de complexe 13-08-04 à 19:32

OK, sauf que l'ensemble qu'on recherche est bien un cercle
de centre -1/2 et de rayon 1/4 et pas 1/2.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Ensemble de complexe 13-08-04 à 19:50

Mais non,  

Le rayon du cercle est bien 1/2.
Où as-tu été chercher que c'était 1/4 ?

Posté par babbibel (invité)re : Ensemble de complexe 13-08-04 à 22:52

je me suis trompé, j'aurais mieux fait de réviser un peu,
1/4 c'est le rayon au carré qui vaut donc 1/2 !
Merci J-P;  mais dis à ton smiley de ne plus me regarder comme ça !  
  j'ai déjà suffisement honte !



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