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Niveau terminale
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Ensemble de définition

Posté par
Samsco
31-01-21 à 10:53

Bonjour j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice:

Déterminer dans chaque cas l'ensemble de définition Dn de la fonction fn.

a) f_n(x)=\ln(\sqrt{x^2+n}+x) , n ≥ 1

b) f_n(x)=\ln(1-x^n) , n ≥ 2

Réponses:

a) x \in D_n \iff \sqrt{x^2+n}+x>0

\forall x \in \mathbb{R} , x^2+n>0 \iff \sqrt{x^2+n}>0

Je ne sais pas quoi faire

Posté par
Glapion Moderateur
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 10:56

Bonjour,
Remarque que la dérivée de \sqrt{x^2+n}+x est positive, la fonction est donc croissante donc supérieure à f(0) > 0

Posté par
Samsco
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:05

f'(x)=\dfrac{x+\sqrt{x²+n}}{\sqrt{x²+n}}
Pourquoi le numérateur est positif?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:18

Bonjour,
Si je puis me permettre :
Quand il y a des termes avec racine carrée, on peut tenter d'utiliser une quantité conjuguée.

Posté par
Samsco
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:24

Donc

f'(x)=\dfrac{n}{\sqrt{x²+n}(\sqrt{x²+n}-x)}

Là encore , il faut montrer que √(x²+n) > x

x²+n > x²
√(x²+n) > |x|
Comment je continue?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:26

oui tu as raison, le signe de la dérivée n'est pas si évident que ça, utilise plutôt le conseil de Sylvieg

Posté par
Glapion Moderateur
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:29

non ne dérive pas,
il te suffit de montrer que le dénominateur est bien positif.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:32

et  \sqrt{x^2+n} \ge x c'est évident, il suffit d'élever au carré
(la fonction carrée est croissante pour les x positifs et pour les x négatifs, l'inégalité est évidente)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:43

Ce qu'on cherche pour a), c'est le signe de \;  \sqrt{x^2+n} + x .

Ce signe est évident si x est positif.

Pour x < 0, on peut utiliser une quantité conjuguée, ou

Citation :
x²+n > x²
√(x²+n) > |x|

Posté par
Samsco
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:53

D'accord

Pour x<0 , |x|=-x
√(x²+n)> |x|

√(x²+n)> -x
√(x²+n)-x>-2x>0

b) x \in D_n \iff 1-x^n>0 \iff x^n<1
Que dois je faire?

Posté par
Samsco
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 11:56

Je me demandais si on pouvais faire intervenir la fonction racine n-ieme.

Posté par
Samsco
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 12:00

Pour a) Dn=R

Posté par
matheuxmatou
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 12:04

bonjour

Samsco @ 31-01-2021 à 11:56

Je me demandais si on pouvais faire intervenir la fonction racine n-ieme.


regarde le tableau de variations  de xxn

et résous xn<1

attention, il faut distinguer les cas suivant la parité de n

Posté par
Samsco
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 12:21

_Si n est pair
x^n <1 => -1 < x < 1

Dn=]-1 ; 1[
_Si n est impair

x^n <1 => x<1

Dn=]-oo ; 1[

Posté par
matheuxmatou
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 17:55

voilà

Posté par
Samsco
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 20:41

Ok merci !

Posté par
matheuxmatou
re : Ensemble de définition 31-01-21 à 23:18

pas de quoi



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