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Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1)

Posté par
SithDeuku
08-05-13 à 11:29

Bonjour a tous, je suis actuellement en train de me préparer à un concours pour rentrer dans une école d'ingénieurs. En faisant les exercices des annales du concours, je suis tombé sur l'affirmation suivante, a laquelle il faut répondre par vrai ou faux.

Soit f la fonction définie par f(x) = ln(e^2x - 2e^x +1)

a) L'ensemble de définition de f est R.

Or, le logarithme n'est définie que sur ]0; +∞[, et si je remplace x par 0, il n'y a pas de résultat, puisque ln(0) est impossible. J'aurais donc répondu faux. Cependant, sur le corrigé de l'annale, ils disent que c'est vrai, et le justifie de la manière suivante : a. Vrai : car f(x) = 2 ln| e^x - 1|.

Je ne comprend pas cette justification, ni même comment f peut être définie sur R, alors que si je remplace x par 0, il n'y a pas de résultat possible ..
                    
                          Expliquez moi s'il vous plait, merci d'avance !

Posté par
yogodo
re : Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1) 08-05-13 à 11:33

Bonjour

Citation :
et si je remplace x par 0, il n'y a pas de résultat, puisque ln(0) est impossible


Si tu remplaces x par 0 tu n'obtiens pas ln(0)

Posté par
jacques1313
re : Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1) 08-05-13 à 11:37

Pourtant e^0-2e^0+1=0.

Posté par
mathx96
re : Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1) 08-05-13 à 11:38

Bonjour :

Citation :
Soit f la fonction définie par f(x) = ln(e^2x - 2e^x +1)


e^{2x} - 2e^x + 1 = (e^x)^2 - 2e^x + 1

On est donc en présence d'un trinôme du second degré dont l'indéterminée est e^x.

On peut poser X = e^x si tu veux : X^2 - 2X + 1

Or, cette expression possède une racine double : 1 et peut donc se factoriser de la façon suivante : (X-1)^2, ce qui est toujours positif ou nul sur \mathbb{R}.


On revient à ce que l'on a posé : X=e^x, donc :

e^{2x} - 2e^x + 1 = (e^x -1)^2

Cette expression ne s'annule que si l'équation e^x = 1 a une solution, ce qui est le cas : x=0 est solution.


Donc (e^x-1)^2 > 0 \forall x\in \mathbb{R}^*.


Donc la fonction f : x ln(e^{2x} - 2e^x + 1) n'est définie que sur \mathbb{R}^*


On a aussi f(x) = ln((e^x-1)^2) = 2ln(e^x - 1) comme indiqué dans le corrigé, mais il y a une erreur tout de même.

Tu avais partiellement raison mais attention car ta justification était fausse !


Bon courage pour ton concours.


Mathx96

Posté par
SithDeuku
re : Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1) 08-05-13 à 11:39

e^2*0 = e^0 = 1
2*e^0 = 2
Or 1-2+1 = 0 non ?
C'est comme ca que j'ai réalisé mon calcul, peux tu me dire ou j'ai faux ?

Posté par
SithDeuku
re : Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1) 08-05-13 à 11:40

Merci mathx96, ca me rassure ! Je ne comprenais vraiment pas !

Posté par
jacques1313
re : Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1) 08-05-13 à 11:43

Il faut quand même des valeurs absolues, comme dans le corrigé.

Posté par
mathx96
re : Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1) 08-05-13 à 11:49

Citation :
Il faut quand même des valeurs absolues, comme dans le corrigé.


Exact, au temps pour moi j'ai oublié de mettre les valeurs absolues dans mon post.

Posté par
mathx96
re : Ensemble de définition de ln(e^2x - 2e^x + 1) 08-05-13 à 11:51

Citation :
On a aussi f(x) = ln((e^x-1)^2) = 2ln(e^x - 1)


Devient donc :

On a aussi f(x) = ln((e^x-1)^2) = 2ln(|e^x - 1|)



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