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ensemble de matrices
1)montrer que tout sous espace vectoriel de Mn(
) est fermé
2)on pose F=Vect{A^k,k
}
Montrer que exA=
A^k/k!F et que expA est un polynôme en A
3)A=[1 0]
[0 2]
montrer que dimF=2
choisir I2 et A comme base et représenter GL2()
F
ainsi que exp(Vect(A))
Bonsoir marionnette
1)Ici, il s'agit d'un résultat général qui dit que tout espace vectoriel de dimension finie est fermé.
On va quand même le montrer.
Soit F un espace vectoriel de dimension finie p et une base de F.
Soit une suite de F qui converge vers un certain X
On peut donc dire que où les
sont des suites réelles.
Or on sait que converge si et seulement toutes les
(par equivalence des normes en dimension finie.
En notant la limite de
, on a alors que
converge vers
. Par unicité de la limite, on a
qui est bien un élément de F. On donc démontré que F est un fermé.
On peut appliquer ceci à tout sous-espace vectoriel de Mn()(qui est automatiquement de dimension finie)
2) exp(A) est la limite d'une suite d'éléments de F qui est sous-espace vectoriel de Mn(). D'après ce qui précède, F est fermé et exp(A) est dans F (donc un polynôme en A).
Kaiser
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