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Ensemble de points définis par un double produit vectoriel
Bonjour à tous,
Je m'permets de vous soumettre le problème suivant, qui me pose quelques soucis :
"Soient A, B et C trois points distincts de l'espace noté E3.
On cherche a déterminer l'ensemble F des points M de E3 tels que
MA vect (MB vect MC) = 0 (Tout ceci comportant avec des flèches au dessus)
1°) Montrer que la droite (BC) est incluse dans F.
2°) Soit M € F \ BC. Montrer que M appartient à deux sphères que l'on précisera en fonction de A, B, C.
3°) Montrer que F est la réunion de la droite (BC) et d'un cercle Ce d'axe (BC) que l'on précisera.
4°) Dans quel(s) cas le cercle Ce est il de rayon nul ?"
Voilà pour l'énoncé.
Question 1 pas de souci particulier, M, B et C alignés, Donc le produit vectoriel est nul, donc M € F, tout va bien.
C'est au niveau de la question 2 qu'arrivent les ennuis.
J'ai essayé de procéder de la facon suivante :
Puisque le produit vectoriel est nul et que M, B et C ne sont pas alignés,
*Ou M et A sont confondus
*Ou MA et (MB vect MC) sont colinéaires
Alors MA est Orthogonal à MB et à MC
=> Puisque MA orthogonal à MB, (MA) et (MB) sont orthogonales, et comme elles ont un point en commun, (MA) et (MB) sont perpendiculaires.
Ainsi le triangle AMB est rectangle en M, et donc M appartient à la sphère de diamètre [AB]. J'ai donc posé I milieu de [AB], et j'en ai déduit que M appartenait a la sphère de centre I et de rayon MI=AB/2.
Puis j'ai fait pareil pour MA et MC.
Jusque là tout allait bien pour moi, a priori.
Sauf que du coup, impossible de trouver un axe (BC) pour mon cercle Ce, dans le 3°), je trouve un axe (IJ).
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ? Où est-ce que ça peut coincer ?
Merci d'avance
Wiz (Elève torturé de Sup)
Bonjour,
Fais une figure dans le plan, les deux sphères représentées par deux cercles de centres respectifs I et J et se coupant en A
On note A' l'autre point d'intersection (sur le plan)
Les deux sphères se coupent selon le cercle de diamètre [AA']
la droite (BC) rencontre ce cercle en A'
et le cercle dont tu parles a pour axe (IJ) et non pas (BC)!!
Bonjour,
Si ,
est un vecteur non nul orthogonal au plan
Pour que le vecteur soit perpendiculaire au plan
donc que et
Donc appartient aux sphères de diamètre
et
Ouille! Bon on arrive à lire.
Et les deux sphères sont toujours sécante selon un cercle qui passe par .
Bonjour, et tout d'abord merci à vous deux de m'accorder un peu de temps.
Et justement vous mettez le doigt sur le problème que j'ai. je m'explique :
Cailloux, ce que tu me dis là me rassure, j'arrive effectivement à deux cercles de diamètres respectifs [AB] et [AC].
Cependant, d'après l'énoncé de la question 3°), l'intersection de ces deux sphères est censée être un cercle d'axe (BC) or si les deux sphères ont pour diamètres [AB] et [AC], leur intersection est un cercle d'axe (IJ), et non pas (BC), comme le souligne Domorea.
Serait-ce alors une erreur d'énoncé ? Ce serait bel et bien un cercle d'axe IJ..
@Domorea : Voilà exactement pourquoi ça me gène, par rapport à la question 2°).
Merci encore.
Wiz
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