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Ensemble de points et produit scalaire

Posté par
ArchimedeHK 21-03-26 à 12:29

Bonjour à tous,

Je traite un exercice qui demande de trouver un ensemble de points M du plan tels que AM.AB=12 avec AB = 6.

J'ai trouvé qu'il s'agit de la droite perpendiculaire à AB passant par H (projeté orthogonal de M sur la droite AB) distant de 2 par rapport à A mais il est aussi demandé de déterminer l'ensemble de points à l'aide du théorème de la médiane.

Auriez-vous des pistes ?

Merci beaucoup !

Posté par
Kohlere : Ensemble de points et produit scalaire 21-03-26 à 13:12

Bonjour,
En appelant I le milieu de [AB], une forme du théorème de la médiane indique que :
MA^2-MB^2=2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}
Et la relation \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12 est alors équivalente à MA^2-MB^2=-12 (quelques petits calculs).
En appelant H le projeté orthogonal de M sur [AB], cette relation donne avec Pythagore :
HA^2-HB^2=-12
Ce qui donne la position de H sur [AB] et donc le lieu cherché.


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