Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Ensemble de points-géométrie dans l'espace
Bonjour 
J'aurais besoin d'aide pour une question de géométrie dans l'espace:
Il faut répondre par vrai ou faux
Soient A,B et C trois points non alignés d'un plan P de l'espace orienté E
L'ensemble des points M de P qui vérifient IIMA^MBII=IIMCII est une conique.
( norme du vecteur (MA vectoriel MB) = norme du vecteur MC )
J'ai essaye de remplacer la norme du produit vectoriel par son expression
Puis j'ai remplacé sinus(AM̂B) par BH/BM avec H le projeté de B sur [MA]
À la fin j'obtiens : MC/MA=BH=e ce qui donne un cercle de diamètre [SS']
avec S barycentre de (C,1) et (A,e)
S' barycentre de (C,1) et (A,-e)
Est ce que c'est correct s'il vous plaît ? Merci.
Bonjour,
ton "e" est variable en fonction de M
et ton "cercle de diamètre SS'" est variable en fonction de M et ne peut donc pas prétendre à être le "lieu de M" !!
le lieu de M est une courbe fixe qui ne dépend que de A,B,C et de rien d'autre.
à déterminer laquelle,
en tout cas ce lieu est "de façon évidente" (si on regarde le problème par le bon côté : la signification géométrique de la norme du produit vectoriel)
une conique de foyer C et de directrice (AB) ce que ne peut pas être un cercle
(sauf un cercle réduit au seul point C, de rayon nul)
par ailleurs écrire que la norme d'un produit vectoriel (homogène à une aire) est égale à la norme de MC (homogène à une longueur) nécessite obligatoirement la définition explicite d'un vecteur unitaire.
Le lieu dépend de ce vecteur unitaire
Géométriquement, algébriquement... chacun ses goûts et ses connaissances sur les coniques du point de vue géométrique. (pas sûr que de nos jours on en dise beaucoup sur les définitions et propriétés géométriques des coniques en terminale)
le mieux que tu as à faire c'est je pense algébriquement.
tu choisis un repère du plan P, dans lequel par exemple A (0; a) B(0; b) et C(c; 0)
dans ce repère le point M a pour coordonnées (x; y)
tu écris tous tes vecteurs et produits scalaires etc
et après simplification tu obtiens l'équation du lieu de M
l'utilisation de tes sinus va compliquer fortement les calculs : tu écris directement que ton produit vectoriel a pour norme |XY' - X'Y| où X, Y et X'; Y') sont les coordonnéees des vecteurs
déja là on commence à voir une belle simplification sur ce produit vectoriel en fonction de x, y et a, b : c'est juste à un facteur constant près l'abscisse de M !!
ensuite on écrit que cette norme est égale à ||MC|| en élevant tout au carré pour éliminer les radicaux et les valeurs absolues
Géométriquement on remarque que la norme du produit vectoriel est le double de l'aire de MAB donc AB fois la hauteur de MAB issue de M
donc le lieu de M est le lieu de points dont le rapport des distances à la droite (AB) et au point C est constant et donné par un "facteur d'échelle" (lié au vecteur unitaire dont j'ai parlé et à la longueur de AB par rapport à ce vecteur unitaire, c'est à dire à la valeur numérique des coordonnées finalement)
Ce qui est la définition d'une conique par foyer (C) et directrice (AB), d'excentricité le rapport sus mentionné.
Annuler
connectez vous