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Niveau Maths sup
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Ensemble de points par produit vectoriel

Posté par
cleindorie
04-06-11 à 15:50

Bonjour,

J'ai un exercice qui doit probablement être super simple mais là je sèche...
Soient A,B et C des points fixés, distincts, non alignés de l'espace. Etudier l'ensemble des points M tels que
a) AB^MC+BC^MB=0
b)(2MA-3MB+MC)^(MB+MC)=0
je ne sais pas mettre les flèches ce sont tous des vecteurs.
J'ai essayé en utilisant les coordonnées des points mais comme je n'ai pas de valeur algébrique je me retrouve avec des séries de lettres dont je ne sais pas quoi faire...
Merci pour vos réponses.

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 16:15

Bonjour,

a) L'idée est d'isoler M dans un expression. Pour celle-ci, tu dois trouver un produit vectoriel nul.

Posté par
dhalte
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 16:25

re salut Boltzmann

utilise les propriétés du produit vectoriel pour trouver une relation caractéristique te situant M

ici, pour le a/ la solution est la droite (AC)

Posté par
dhalte
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 16:28

et pour le b/ c'est comme pour les barycentres vus en classe maternelle : le premier membre est constant, le second est fonction du milieu de [BC] et le produit vectoriel nul implique colinéarité.

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 16:41

Euuh, pour le A) après calcul, je trouve la droite parallèle à (AB) passant par le symétrique de C par rapport à B.

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 17:33

Il n'y en a pas quinze mille de propriétés du produit vectoriel, je fais
AB^MC + BC^MB=0
AB^(MB+BC) + BC^MB=0
AB^MB + AB^BC + BC^MB=0
(AB+BC)^MB + AB^BC=0
AC^MB +AB^(BA+AC)=0
AC^MB + AB^AC =0 car AB^BA=0
Et après ? En fait je ne vois pas comment isoler M alors qu'il est lié par le produit vectoriel.

Je peux continuer en faisant AC^MB= -AB^AC = AC^AB mais je ne vois vraiment pas ce que ça me donne.

Pour le b je sais que le produit vectoriel nul implique la colinéarité donc je dois trouver une relation de la forme U=kV
Je travaille dessus et je vous tiens au courant.

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 17:40

Après, tu utilises la linéarité et l'anticomutativité du produit vectoriel.

AC^MB + AB^AC =0
AC^MB + AC^BA =0
AC^(MB+BA) =0
AC^MA = 0 et tu retrouves le résultat de dhalte. Donc, j'ai du faire une erreur de calcul. C'est pas mon jour, aujourd'hui...

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 17:48

Petite question idiote : l'anticomutativité  du produit vectoriel ce n'est pas u^v= -v^u ?
Donc AB^AC= -AC^AB ?

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 17:54

Oui, c'est ça

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 17:57

Faisons tombé les tabous tant pis si je passe pour une idiote mais comment peut-on savoir si on a affaire à une droite parallèle, une droite, etc ?
En fait si je reprend le résultat de dhalte on a AC^MA=0 ce qui on est d'accord implique la colinéarité des deux vecteurs, ce qui veut dire que MA=kAC ?
Si j'avais eu par exemple AC^MB=0 il aurait fallu conclure que M était sur la droite parallèle à AC passant par B ?

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:00

Il n'y a pas de questions idiotes ! Juste des gens trop idiots pour poser des questions !

T'as tout compris. C'est tout à fait ça.

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:01

Si AB^AC= -AC^AB la relation que tu écris est fausse alors car j'ai
AC^MB+AB^AC=0 donc
AC^MB-AC^AB=0 et non AC^MB+AC^AB=0 ou alors il y a vraiment quelque chose que je n'ai pas saisi

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:05

J'ai pas vérifié ton calcul, j'ai repris directement la dernière ligne, je vais relire ton calcul.

Posté par
carpediem
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:19

salut

u^v = -v^u = v^(-u)
.....

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:21

J'ai le flemme de relire, je corrige directement.

a) AB^MC+BC^MB=0

AB^MC+BC^MB=0
AB^MC+(BA+AC)^MB=0 Chasles en A sur BC
AB^MC+BA^MB+AC^MB=0 Développement par linéarité du PV
AB^(BM+MC)+AC^MB=0 Factorisation par linéarité du PV
AB^BC+AC^MB=0 Chasles en M sur la somme.
(AC+CB)^BC+AC^MB=0 Chasles en C sur AB
AC^BC + AC^MB + CB^BC = 0
AC^(BC+MB) = 0 car CB^BC=0

Donc, BC+MB = a*AC. Avec a dans R.
BM = BC + a*AC et par Chasles en C sur BM,
CM = a*AC. Donc, M appartient à la droite (AC).

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:38

Effectivement j'avais oublié d'inversé BA et AB ça ne risquait pas de fonctionner...
Pour le b) je ne peux pas utiliser le barycentre car la somme des coefficients est nulle pour le premier terme, j'ai commencé en introduisant B dans la première expression ce qui me donne :

2MB+2BA-3MB+MB+BC = 2BA+BC

j'ai donc (2BA+BC)^(MB+MC)=0 Si j'introduis encore B mais dans la deuxième expression ça me donne
(2BA+BC)^(2MB+BC)=0

Ensuite je dois utiliser la distributivité du produit vectoriel? ça me paraît bizarre avec plusieurs vecteurs je ne pense pas que j'ai le droit.

Posté par
jver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:41

Il me semble que dhalte a raison et que M est sur AC.
En effet: AB^MC+BC^MB=0=AB^MC+BC^(MC+CB)=AB^MC+BC^MC=AC^MC
MC est collinéaire avec AC; A,M,C sont alignés.

A,C et M étant alignés, on est dans un plan!

2MA-3MB+MC=constante=MC-3MB=3(MC'-MB)=3BC' où C' est au tiers de AC

La deuxième relation dit que MB+MC=2 MD est parallèle à BC'

D'où M'


Si je construis B', symétrique de B par rapport à C, M est le centre de gravité du triangle ABB'.

Tout çà si je n'ai pas fait d'erreur!

Ensemble de points par produit vectoriel

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:41

Merci Boltzmann_Solver c'est moi qui avait fait une erreur dans le recopiage, désolée. Mais là j'ai bien compris si ça peut te rassurer.

Posté par
carpediem
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:42

note I le milieu de [BC] .... donc MB = .... et MC = ....

donc MB + MC = .....

Posté par
dhalte
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:42

à Boltzmann qui disait :
pour le A) après calcul, je trouve la droite parallèle à (AB) passant par le symétrique de C par rapport à B.
ton dernier message arrive au bon résultat, finalement
mais il y a fichtrement plus court

\vec{AB}\wedge\vec{MC}+\vec{BC}\wedge\vec{MB}=\vec 0

linéarité

\vec{AB}\wedge\vec{MC}+(\vec{BC}\wedge\vec{MC}+\vec{BC}\wedge\vec{CB})=\vec 0

\vec u\wedge\vec u=\vec0 donc \vec{BC}\wedge\vec{CB}=\vec0
linéarité

(\vec{AB}+\vec{BC})\wedge\vec{MC}=\vec 0

\vec{AC}\wedge\vec{CM}=\vec 0

les deux vecteurs sont colinéaires, M est sur la droite passant par C, parallèle à (AC), M est sur (AC)

Posté par
carpediem
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:44

(2BA+BC)^2MI = 0

....lieu de M ....?

Posté par
jver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:44

erratum:

Citation :
2MA-3MB+MC=constante=MC-3MB=3(MC'-MB)=3BC' où C' est au tiers de AC


2MA-3MB+MC=constante=AC-3AB=3(AC'-AB)=3BC'

scuses

Posté par
Boltzmann_Solver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:46

Oui, je m'en suis rapidement rendu compte. J'ai remplacé un C par un B en milieu de démo. Il y a des jours où il vaut mieux se taire et c'est un de ces jours. J'ai pas traité un post correctement aujourd'hui...

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 18:55

Je reprends carpediem, si on introduit I milieu de [BC] on a MB=MI+IB et MC=MI+IC
Donc MB+MC=2MI+IB+IC Comme I milieu de [BC] IB+IC=0 car IC=-IB
MB+MC=2MI
J'ai du me tromper je ne retrouve pas ton expression... Si (2BA+BC)^2MI=0 alors 2MI=k*(2BA+BC)
Je sèche je ne suis pas faite pour la géométrie...

Posté par
carpediem
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 19:00

tout à fait donc M appartient à la droite passant par I et dirigée par 2BA+BC

...ce qu'a trouvé jver ....

Posté par
jver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 19:03

Citation :
tout à fait donc M appartient à la droite passant par I et dirigée par 2BA+BC


Je crains de dire une bourde. Je pense qu'il n'y a qu'un point qui convienne; et que c'est le centre de gravité de ABB'

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 19:08

Je suis désolée j'ai encore besoin d'un éclaircissement, jver a remplacé M par A dans l'expression de la constante jusque là pas de soucis, puis introduit un point C' appartenant à AC d'où constante=3BC'
On a vu aussi que MB+MC=2MI et que MI=1/2(2BA+BC)
Notre produit vectoriel devient 3BC'^2MI=0
3BC'^(2BA+BC)=0
3BC'^2BA+3BC'^BC=0
Comment arrivez-vous à conclure ?

Posté par
dhalte
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 19:08

non
dernier exercice
2\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}=-3\vec{AB}+\vec{AC}=\vec u est un vecteur constant
Si I est milieu de [BC]
\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}


donc
(2\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC})\wedge(\vec{MB}+\vec{MC})=\vec0

est équivalent à
\vec u\vec{IM}=\vec0

M est sur la droite passant par I, de vecteur directeur \vec u

Posté par
jver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 19:15

Citation :
M est sur la droite passant par I, de vecteur directeur


Bien sûr, mais M est également sur AC.
Et cela définit un point unique. Non?

Posté par
cleindorie
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 19:23

Merci dhalte j'ai bien compris, j'ai un peu (beaucoup...) de mal à visualiser ce que donne une équation; je vais m'entraîner encore ce soir. Merci pour votre aide à tous.

Posté par
dhalte
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 20:53

ok jver : il s'agit de deux exercices différents

solution de a/ M est sur la droite (AC)

solution de b/ M est sur la droite passant par I, de vecteur directeur \vec u

évidemment, si on impose les deux contraintes simultanément, M est sur l'intersection des deux
il faut alors développer les cas où les deux pourraient être confondues ou strictement parallèles.

ai-je répondu à ta question ?

Posté par
jver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 21:04

D'accord; je n'avais pas compris qu'il s'agissait de deux exercices différents! Rien ne le disait.

Je trouve que, si on cherche les points tels que a) et b), c'est plus "mignon"; d'où ma figure dans laquelle M, unique, est le centre de gravité d'un certain triangle.

Nous ne risquions pas de nous comprendre en résolvant des problèmes différents.

Bonne soirée!

Posté par
dhalte
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 21:28

rien ne le disais ? si :
a)
b)

et non pas \left\{\begin{array}l a)
 \\ b)\end{array}

Attention à ce que cette confusion ne t'arrive pas le jour d'un examen

Posté par
jver
re : Ensemble de points par produit vectoriel 04-06-11 à 23:16

Mon pauvre, les concours, je les ai passés en 62!!!

Les examens, juste ceux de conscience!

Posté par
dhalte
re : Ensemble de points par produit vectoriel 05-06-11 à 00:29

ah, mais je t'imaginais en train de corriger une épreuve, évidemment, ce qui aurait été catastrophique pour les impétrants.



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