Bonjour,
J'ai un exercice qui doit probablement être super simple mais là je sèche...
Soient A,B et C des points fixés, distincts, non alignés de l'espace. Etudier l'ensemble des points M tels que
a) AB^MC+BC^MB=0
b)(2MA-3MB+MC)^(MB+MC)=0
je ne sais pas mettre les flèches ce sont tous des vecteurs.
J'ai essayé en utilisant les coordonnées des points mais comme je n'ai pas de valeur algébrique je me retrouve avec des séries de lettres dont je ne sais pas quoi faire...
Merci pour vos réponses.
Bonjour,
a) L'idée est d'isoler M dans un expression. Pour celle-ci, tu dois trouver un produit vectoriel nul.
re salut Boltzmann
utilise les propriétés du produit vectoriel pour trouver une relation caractéristique te situant M
ici, pour le a/ la solution est la droite (AC)
et pour le b/ c'est comme pour les barycentres vus en classe maternelle : le premier membre est constant, le second est fonction du milieu de [BC] et le produit vectoriel nul implique colinéarité.
Euuh, pour le A) après calcul, je trouve la droite parallèle à (AB) passant par le symétrique de C par rapport à B.
Il n'y en a pas quinze mille de propriétés du produit vectoriel, je fais
AB^MC + BC^MB=0
AB^(MB+BC) + BC^MB=0
AB^MB + AB^BC + BC^MB=0
(AB+BC)^MB + AB^BC=0
AC^MB +AB^(BA+AC)=0
AC^MB + AB^AC =0 car AB^BA=0
Et après ? En fait je ne vois pas comment isoler M alors qu'il est lié par le produit vectoriel.
Je peux continuer en faisant AC^MB= -AB^AC = AC^AB mais je ne vois vraiment pas ce que ça me donne.
Pour le b je sais que le produit vectoriel nul implique la colinéarité donc je dois trouver une relation de la forme U=kV
Je travaille dessus et je vous tiens au courant.
Après, tu utilises la linéarité et l'anticomutativité du produit vectoriel.
AC^MB + AB^AC =0
AC^MB + AC^BA =0
AC^(MB+BA) =0
AC^MA = 0 et tu retrouves le résultat de dhalte. Donc, j'ai du faire une erreur de calcul. C'est pas mon jour, aujourd'hui...
Petite question idiote : l'anticomutativité du produit vectoriel ce n'est pas u^v= -v^u ?
Donc AB^AC= -AC^AB ?
Faisons tombé les tabous tant pis si je passe pour une idiote mais comment peut-on savoir si on a affaire à une droite parallèle, une droite, etc ?
En fait si je reprend le résultat de dhalte on a AC^MA=0 ce qui on est d'accord implique la colinéarité des deux vecteurs, ce qui veut dire que MA=kAC ?
Si j'avais eu par exemple AC^MB=0 il aurait fallu conclure que M était sur la droite parallèle à AC passant par B ?
Il n'y a pas de questions idiotes ! Juste des gens trop idiots pour poser des questions !
T'as tout compris. C'est tout à fait ça.
Si AB^AC= -AC^AB la relation que tu écris est fausse alors car j'ai
AC^MB+AB^AC=0 donc
AC^MB-AC^AB=0 et non AC^MB+AC^AB=0 ou alors il y a vraiment quelque chose que je n'ai pas saisi
J'ai le flemme de relire, je corrige directement.
a) AB^MC+BC^MB=0
AB^MC+BC^MB=0
AB^MC+(BA+AC)^MB=0 Chasles en A sur BC
AB^MC+BA^MB+AC^MB=0 Développement par linéarité du PV
AB^(BM+MC)+AC^MB=0 Factorisation par linéarité du PV
AB^BC+AC^MB=0 Chasles en M sur la somme.
(AC+CB)^BC+AC^MB=0 Chasles en C sur AB
AC^BC + AC^MB + CB^BC = 0
AC^(BC+MB) = 0 car CB^BC=0
Donc, BC+MB = a*AC. Avec a dans R.
BM = BC + a*AC et par Chasles en C sur BM,
CM = a*AC. Donc, M appartient à la droite (AC).
Effectivement j'avais oublié d'inversé BA et AB ça ne risquait pas de fonctionner...
Pour le b) je ne peux pas utiliser le barycentre car la somme des coefficients est nulle pour le premier terme, j'ai commencé en introduisant B dans la première expression ce qui me donne :
2MB+2BA-3MB+MB+BC = 2BA+BC
j'ai donc (2BA+BC)^(MB+MC)=0 Si j'introduis encore B mais dans la deuxième expression ça me donne
(2BA+BC)^(2MB+BC)=0
Ensuite je dois utiliser la distributivité du produit vectoriel? ça me paraît bizarre avec plusieurs vecteurs je ne pense pas que j'ai le droit.
Il me semble que dhalte a raison et que M est sur AC.
En effet: AB^MC+BC^MB=0=AB^MC+BC^(MC+CB)=AB^MC+BC^MC=AC^MC
MC est collinéaire avec AC; A,M,C sont alignés.
A,C et M étant alignés, on est dans un plan!
2MA-3MB+MC=constante=MC-3MB=3(MC'-MB)=3BC' où C' est au tiers de AC
La deuxième relation dit que MB+MC=2 MD est parallèle à BC'
D'où M'
Si je construis B', symétrique de B par rapport à C, M est le centre de gravité du triangle ABB'.
Tout çà si je n'ai pas fait d'erreur!
Merci Boltzmann_Solver c'est moi qui avait fait une erreur dans le recopiage, désolée. Mais là j'ai bien compris si ça peut te rassurer.
à Boltzmann qui disait :
pour le A) après calcul, je trouve la droite parallèle à (AB) passant par le symétrique de C par rapport à B.
ton dernier message arrive au bon résultat, finalement
mais il y a fichtrement plus court
linéarité
donc
linéarité
les deux vecteurs sont colinéaires, M est sur la droite passant par C, parallèle à (AC), M est sur (AC)
erratum:
Oui, je m'en suis rapidement rendu compte. J'ai remplacé un C par un B en milieu de démo. Il y a des jours où il vaut mieux se taire et c'est un de ces jours. J'ai pas traité un post correctement aujourd'hui...
Je reprends carpediem, si on introduit I milieu de [BC] on a MB=MI+IB et MC=MI+IC
Donc MB+MC=2MI+IB+IC Comme I milieu de [BC] IB+IC=0 car IC=-IB
MB+MC=2MI
J'ai du me tromper je ne retrouve pas ton expression... Si (2BA+BC)^2MI=0 alors 2MI=k*(2BA+BC)
Je sèche je ne suis pas faite pour la géométrie...
tout à fait donc M appartient à la droite passant par I et dirigée par 2BA+BC
...ce qu'a trouvé jver ....
Je suis désolée j'ai encore besoin d'un éclaircissement, jver a remplacé M par A dans l'expression de la constante jusque là pas de soucis, puis introduit un point C' appartenant à AC d'où constante=3BC'
On a vu aussi que MB+MC=2MI et que MI=1/2(2BA+BC)
Notre produit vectoriel devient 3BC'^2MI=0
3BC'^(2BA+BC)=0
3BC'^2BA+3BC'^BC=0
Comment arrivez-vous à conclure ?
non
dernier exercice
est un vecteur constant
Si I est milieu de [BC]
donc
est équivalent à
M est sur la droite passant par I, de vecteur directeur
Merci dhalte j'ai bien compris, j'ai un peu (beaucoup...) de mal à visualiser ce que donne une équation; je vais m'entraîner encore ce soir. Merci pour votre aide à tous.
ok jver : il s'agit de deux exercices différents
solution de a/ M est sur la droite (AC)
solution de b/ M est sur la droite passant par I, de vecteur directeur
évidemment, si on impose les deux contraintes simultanément, M est sur l'intersection des deux
il faut alors développer les cas où les deux pourraient être confondues ou strictement parallèles.
ai-je répondu à ta question ?
D'accord; je n'avais pas compris qu'il s'agissait de deux exercices différents! Rien ne le disait.
Je trouve que, si on cherche les points tels que a) et b), c'est plus "mignon"; d'où ma figure dans laquelle M, unique, est le centre de gravité d'un certain triangle.
Nous ne risquions pas de nous comprendre en résolvant des problèmes différents.
Bonne soirée!
rien ne le disais ? si :
a)
b)
et non pas
Attention à ce que cette confusion ne t'arrive pas le jour d'un examen
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