(bien entendu on a démontre que K[a] était un sous-corps de C dans le cas où a est algébrique)

Salut!
Prend a un element algébrique sur A_Q. Il faut que tu montres qu'il est dans A_Q (a priori tu sais juste que tout polynome a coeff dans Q admet une racine dans A_Q, mais il faut que tu montres le fait supplementaire que tout polynome a coeff dans A_Q admet une racine dans A_Q)?
Alors a est solution d'un polynome a coeffcient dans A_Q, ce polynome a un nombre fini de coefficients, prend L l'extension engendré par ces coeff sur Q, alors L est fini, et a algébrique sur L.

Salut!

Pour montrer que A est algébriquement clos, il faut montrer que polynôme de A[X] a une racine dans A, et pas seulement les polynômes de Q[X]

@ Marmelade :

je n'ai pas vu cette notion d'extension algébrique donc je ne comprends pas tellement ...

Donc pour montrer que est algébriquement clos, il suffit de montrer que pour tout élément algébrique sur alors est dans :

Soit algébrique sur . On a deux sous-corps de donc d'après la 2), est algébrique sur donc appartient à .

@ Jord :

ok, mais je ne peux le démontrer de cette façon en utilisant juste la question 2) ?

Cf. (particulièrement les pages 4 et 5)

A +

Athrun  tu ne peux utiliser juste le 2 car   ton extension AQ / Q n'est pas finie.

En revanche si  a  est algérique sur  AQ  , son polynôme annulateur (un) n'a qu'un nombre fini de coefficients ce qui doit te suffire pour conclure en utilisant le 2).

Bonsoir,

merci DHilbert pour la documentation, c'est fort intéressant bien que parfois un peu indigeste pour une première fois !

@ lolo271 : eh oui j'avais zappé ce point là !

Mais alors ce que j'aimerais comprendre, avant d'essayer de démontrer quoi que ce soit, c'est que pour

démontrer que A_Q est effectivement algébriquement clos, il me suffit de montrer que tout élément algébrique sur A_Q est dans A_Q ?


Si tel est le cas, en m'inspirant de votre propos ainsi que de celui de Marmelade :
soit a algébrique sur A_Q, soit P son polynôme minimal dans A_Q. P a un nombre fini de coefficients, disons b₁,...,b_p.

Je considère alors l'extension L engendrée par {b₁,...,b_p} (si j'ai bien compris c'est le plus petit corps contenant {b₁,...,b_p} ?). Elle est de dimension finie sur . a est algébrique sur L donc sur d'après 2), et ainsi a est dans A_Q.

oui  pour la fin c'est tout à fait ça (éventuellement quelques étapes à détailler).

1) K  algébriquement clos  SSI  2) pour  tout  a dans L  extension algébrique, il est dans  K  SSI   3)tout polynôme de K[X]-K a une racine dans K SSI  4)  tout polynôme de  K[X]-K se décompose en facteurs irréductibles.


Je suppose que tu veux montrer que 2° équivaut à 3)  (ce sont des définitions équivalentes et suivant les cours on part de l'une ou l'autre et on prouve les autres)

2 -->  3    ,  soit  P(X) dans K[X] -K  polynôme,  alors  si  Q(X) est un facteur irréductible de P , L=   K[X]/(Q(X)  est un corps extension de  K  de degré  deg Q .

la classe de X est racine de  Q(X) dans L  donc d'après 2) cette racine est dans K , donc  degré Q=1 , cqfd .

3-->> 2  si  a  est algébrique son polynôme minimal est irréductible et a une racine d'après 3) donc a est dans K .

4° j'ai voulu écrire facteurs de degré 1

Merci.