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ensemble des parties d'un ensemble

Posté par
romu 21-11-07 à 12:09

Bonjour, j'ai un problème avec cet exo:

Citation :
Soit E un ensemble et \mathcal{P}(E) l'ensemble formé des parties de E.

Sur \mathcal{P}(E) on considère les lois X\cap Y et X\bot Y := (X\cup Y)\setminus (X\cap Y).

a) Montrer que (\mathcal{P}(E),\bot) est un groupe abélien.

b) Montrer que (\mathcal{P}(E),\bot) est un anneau commutatif.

c) Soit a\in E. On définit les sous-ensembles de \mathcal{P}(E) suivant:

I:=\{X\subset E\ |\ a\not \in X\},\qquad J=\{X\subset E\ |\ a\in X\}

c) Montrer que I est un idéal de \mathcal{P}(E).

d) Montrer que J est un sous-anneau de \mathcal{P}(E).



Donc pour a), b) et c), normalement c'est bon.

Pour l'élément neutre de \bot, j'ai trouvé l'ensemble vide \emptyset.
Et ça ne colle apparemment pas avec la question d)

parce que si J est un sous-anneau de \mathcal{P}(E), alors c'est un sous-groupe additif,
et doit donc contenir l'ensemble vide \emptyset, qui n'est pas dans J, puisque a\not \in \emptyset.

Non?

Posté par
stokastikre : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 12:33

Tu as clairement raison donc c'est un problème dans l'enoncé. Qu'est-ce que ça donne si on échange I et J ?

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 13:06

Bonjour Stochastik,

ça ne marche pas non plus,

J n'est pas un idéal:

Soient X,\ Y \in J.

a\in X et a\in Y, donc a\in X\cap Y.

Par conséquent, a\notin X\bot Y =(X\cup Y)\setminus (X\cap Y), c'est à dire X\bot Y \not \in J

Donc J n'est pas un idéal.

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 13:12

Je demanderai à mon prof quel énoncé était caché derrière.

Posté par
stokastikre : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 13:43

Mais attends l'addition c'est \cap ce n'est pas \bot, tu t'es pas planté là ?

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 13:53

tu m'as fait peur pendant un instant j'ai douté j'ai cru que j'allais redevoir faire tout cet exo à zéro

Mais non je me suis pas planté, j'ai bien recopié l'énoncé tel quel, j'ai bien fait les questions a), b) et c).

Et surtout (\mathcal{P}(E),\cap) n'est pas un groupe.
Il n'y a en général pas d'élément inverse.

Posté par
stokastikre : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 14:08

Oui tu as raison de toutes façons un idéal est un sous-groupe. Tu n''avais pas écrit les 2 lois dans la question b).

Au fait cette addition se note \Delta traditionnellement et s'appelle la différence symétrique.

Il me semble que J n'a presque aucune des propriétés de groupe ou d'anneau... d'ailleurs J est le complémentaire de I, c'est quoi ce délire ?

Posté par
Camélia Correcteurre : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 14:37

Bonjour à tous

J est stable par "multiplication" () et contient l'unité X, mais n'a aucune bonne propriété pour l'"addition".

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 21:25

Bonjour,

oui effectivement j'avais oublié la deuxième loi, c'est bien l'anneau commutatif (\mathcal{P}(E),\bot,\cap).

Bon je viens de voir mon prof d'algèbre, en fait il faut remplacer la question d) par

Citation :
Montrer que si J est un idéal de \mathcal{P}(E), il existe a\in E tel que:

3$J\subset I_a := \{X\subset E\ |\ a\notin X\}


Je vais regarder ça.

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 21:31

Enfin je veux dire J\in I_a.

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 21:32

Non ça doit bien être J\subset I_a.

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 21:44

Je suppose que J est différent de \mathcal{P}(E), sinon ça ne colle pas.

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 22:02

Bon je retape, en fait j'ai oublié plein de données:

Citation :
On suppose E fini, montrer que si J est un idéal strict de \mathcal{P}(E), il existe a\in E tel que:

3$J\subset I_a := \{X\subset E\ |\ a\notin X\}.

Posté par
stokastikre : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 22:19

Un résultat d'existence aussi général, pour des ensembles quelconques, j'ai soupçonné le lemme de Zorn... mais je ne vois pas

Posté par
stokastikre : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 22:21

E fini!!! je n'avais pas vu!!!

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 22:25

oui ça change tout

je crois que j'ai trouvé une réponse en raisonnant par l'absurde, je rédige ça.

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 22:44

Supposons que pour tout a \in E, il existe X\in J tel que a\in X.

Soit a\in E.
Il existe donc X\in J tel que a\in X. De plus \{a\}\in \mathcal{P}(E), et comme J est un idéal,

\{a\}=X\cap \{a\}\in J.

Donc tous les singletons de E sont éléments de J.

Comme deux singletons sont disjoints, on a pour tous a,\ b\in E,

\{a\}\bot \{b\} = \{a\}\cup \{b\}.

Et comme toutes les parties de E sont finies, il est facile d'en déduire que J=\mathcal{P}(E), ce qui est absurde.

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 21-11-07 à 22:47

Bon en tout cas on était était pas près de trouver l'énoncé original.

Posté par
Camélia Correcteurre : ensemble des parties d'un ensemble 22-11-07 à 14:34

Ta démonstration est correcte.

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 22-11-07 à 15:01

ok, merci Camélia.

Posté par
Camélia Correcteurre : ensemble des parties d'un ensemble 22-11-07 à 15:02

Posté par
stokastikre : ensemble des parties d'un ensemble 22-11-07 à 20:02

Citation :
ce qui est absurde


Une remarque là-dessus. Je suggère de ne pas écrire le mot "absurde" quand on utilise pas de raisonnement par l'absurde, ce que tu ne fais pas ici, tu raisonnes par contraposition tout simplement : tu montres qu'un idéal qui n'est contenu dans aucun des  I_a  est nécessairement  P(E). Par contraposition, tu en déduis le résultat.

Certains matheux n'acceptent pas le raisonnement par l'absurde, mais tous acceptent la contraposition.

Sinon quelqu'un a réfléchi au cas où  E  est infini ?

Posté par
romure : ensemble des parties d'un ensemble 22-11-07 à 22:35

Non en fait j'utilisais bien le raisonnement par l'absurde, juste que j'ai oublié de préciser que je supposais que J est un idéal strict de E,

mais c'est vrai que la contraposition est préférable et que je n'avais pas sais la subtilité, merci Stochastik.

Pour le cas infini, je ne vois pas a priori.

Posté par
Camélia Correcteurre : ensemble des parties d'un ensemble 23-11-07 à 14:35

L'ensemble des parties finies d'un ensemble infini E est un idéal strict de P(E) qui contient tous les singletons.

Posté par
stokastikre : ensemble des parties d'un ensemble 23-11-07 à 15:23

Bien vu Camélia

Posté par
Camélia Correcteurre : ensemble des parties d'un ensemble 23-11-07 à 15:33


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