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Ensemble des parties d un ensemble

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
08-05-06 à 10:38

Bonjour à tous, j'ai besoin de vous pour une petite démo :

Démontrer qu'un ensemble finis de n éléments donne naissance à 2n sous-ensembles.

Merci par avance de votre aide

Posté par
nikole
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 10:41

salut
pour toute partie A de E
on cosidere l'application de E dans {0;1} qui a chaque element x de E on fait correspondre 1 si x A et 0 si xA
le nombre d'applications de E à n elements dans {0;1} de cardinal 2 est
2n
chaque application correspond a une partie A de E

Posté par
nikole
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 10:45

ou bien tu travailles par recurrence
en considerant que si E à n-1 elements admet 2n-1 parties
alors en ajoutant un nieme element x
on doit avoir 2n parties
en effet
en ajoutant x aux elements de E
une nouvelle famille de parties s'ajoutent a celle qui existait
c'est la meme famille qui existait en ajoutant a chacune des parties l'element x
le nombre de parties ainsi est multiplie par deux (la famille qui ne contient pas x et le nombre de ses elements est 2n-1c, et cette meme famille avec l'element x )
tu auras ainsi 2n-1.2=2n

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 10:49

Je pense avoir compris
Merci nikole.

Posté par
disdrometre
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 11:02

bonjour puisea,

une autre méthode :

le nombre de parties de p éléments issue d'un grand ensemble de n éléments est C(n,p)=\frac{n!}{(n-p)!p!}

le nombre de sous ensemble c'est la somme de C(n,p)

soit \sum_{0}^{n}C(n,p) = (1+1)^n = 2^n
K.

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 11:58

Salut disdometre,

merci pour cette explication, c'est désormais bien clair. De mon coté j'en étais arrivé la somme de 0 à n de C(n,p), mais je ne savais pas que cela donnait l'égalité (1+1)^n. Pourrais-tu m'expliquer cette égalité ?

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 12:23

Pour reformuler ma question, quelqu'un pourrait-il m'expliquer l'égalité suivante :

5$ \fbox{\sum_{p=0}^n C(n,p) = (1+1)^n}

Posté par
nikole
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 12:50

salut
(x+y)n=(-1)pxpyn-p

Posté par
nikole
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 12:51

le p allant de 0 a n

Posté par
nikole
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 12:51

la demo je pense peut se faire par recurrence

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 13:07

nikole,

Je ne vois pas très bien en quoi cela se rapporte avec l'égalité de C(n,p).

Posté par
nikole
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 13:13

en prenant x et y egaux à 1 chacun

Posté par
nikole
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 13:17

sorry j'ai mal exprimer la somme
(x+y)n=C(n,p)xp.yn-p
ainsi (1+1)n=C(n;p).1.1

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 13:18

Je ne vois aps le rapprochement nikole, en effet :


En considérant la somme suivante :
\sum_{p=0}^n (-1)^p\times x^p\times y^(n-p)

On voit que :
(-1)^p donne alternativement 1 et -1

Donc :
(-1)^p\times x^p\times y^(n-p) donne alternativement 1 et -1

Donc :
\sum_{p=0}^n (-1)^p\times x^p\times y^(n-p) donne 0 ou 1

Je me trompe peut-être...

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 13:20

Ah d'accord, je vais essayer de me renseigner sur cette égalité... si quelqu'un en connait la démonstration

merci nikole

Posté par
nikole
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 13:23

j'essaie de la travailler (la demo)
c'est deja vari pour n=2
j'essaie par recurrence

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 13:28

Avec un peu de retard : en effet je viens d'essayer de regarder et l'égalité est bien démontrée pour n = 2.

Posté par
puisea Posteur d'énigmes
re : Ensemble des parties d un ensemble 08-05-06 à 13:53

Je viens de me rendre compte qu'il s'agissait de la formule du binome de Newton. Elle est démontrée par récurrence à cette page :



encore merci.



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