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Ensemble fini, plus petit et plus grand élément
Bonjour à tous,
je dois démontrer que :
si un ensemble E est muni d'un ordre R tel que toute partie non vide de E possède un plus grand élément et un plus petit élément, alors l'ordre est total et E est un ensemble fini.
Montrer que l'ordre est total a l'air plutôt facile :
soit (x;y)
E² tel que x
y, et en posant P={x;y},
on vérifie que P est non vide et inclu dans E. Donc P admet un plus petit élément et un plus grand élément :
si x est ce PPE, alors xRy. Sinon, c'est y et alors yRx, d'où le résultat : pour tout (x;y)E², xRy ou yRx. Donc l'ordre et total.
Par contre, pour démontrer que E est infini,"c'est le drame", comme dirait un certain professeur de maths.
J'ai bien essayé un raisonnement par l'absurde ou de définir une fonction bijective, mais sans résultat...
Merci de votre aide 
Bonjour VADOR_dark
Par contre, pour démontrer que E est infini
tu voulais sans doute dire "fini", comme dans l'énoncé de départ.
Le raisonnement par l'absurde me parait judicieux.
Voici un début d'indication : On suppose donc par l'absurde que E est infini. En particulier, il est non vide et donc par hypothèse, il y a un plus petit élément que l'on note
Je te pose donc les questions suivantes:
1) Que dire de l'ensemble
2) Qu'en-déduit-on ?
Kaiser
Oups! en effet, petite correction : "pour démontrer que E est fini" ...
Pour E\{x0}, on peut dire qu'il est infini, et qu'il admet un plus petit élément différent de x0. Après, ce qu'on en déduit... 
Je propose, de manière totalement innocente, d'appeler cet élément et aussi de considérer de manière totalement innocente l'ensemble
.
Que peut-on dire ?
Kaiser
A part le fait que l'on va obtenir un nouvel ensembre dont le plus petit élément sera x2, je ne vois pas ce qui pourrait nous amener à une contradiction
Peut être qu'on pourrait définir un ensemble P(n) définit par récurrence tel que P(1)=E et P(n)=P(n-1)/{min(P(n-1))} et ensuite poser une bijection allant de 1 au plus grand élément de E qui à tout n associerait le minimum du polynôme P(n), mais justement montrer que c'est une bijection semble... pas simple.
Bonsoir
Pardon mais si E est infini et admet un plus petit élément x0, E\{x0} n'admet pas forcément de plus petit élément. Considérer 
+.
Encore une petite correction,
la bijection va de 1 à M, M étant le dernier entier pour lequel P(M) est non vide
On ne va pas parler de bijection, pas plus de polynôme (d'ailleurs, pourquoi un polynôme ???)
On va effectivement définir une suite d'éléments de E par récurrence la manière suivante :
cette suite est bien défini E privé d'u nombre fini d'éléments est un ensemble non vide car infini.
Considère maintenant .
Utilise les hypothèse de l'énoncé et essaie d'aboutir à une contradiction.
Kaiser
si un ensemble E est muni d'un ordre R tel que toute partie non vide de E possède un plus grand élément et un plus petit élément, alors l'ordre est total et E est un ensemble fini.
Comme E\{x0} est une partie de E, par définition de (E,R), cet ensemble admet un PPE, non ?
OK, j'y suis presque !
L'ensemble E étant infini, le nombre d'ensemble définit précédemment par récurrence est infini. Donc l'ensemble F des minimums de chacun de ces ensembles est infini.
Je vois bien que cet ensemble n'admet pas de plus grand élément, ce qui est absurde puisque c'est une partie de E, mais comment le démontrer, puis le fait qu'un ensemble est infini n'implique pas nécéssairement qu'il ne possède pas de PGE ?
erreur de frappe :
"Je vois bien que cet ensemble n'admet pas de plus grand élément, ce qui est absurde puisque c'est une partie de E, mais comment le démontrer, puisQUE le fait qu'un ensemble est infini n'implique pas nécéssairement qu'il ne possède pas de PGE ? "
En gros, c'est l'idée.
F est non vide donc il admet une plus grand élément qui est un certain . En particulier, il est censé être plus grand que quel élément ?
Kaiser
Affirmer que xp est plus grand que le PGE de E aboutirait bien à une contradiction, mais je ne vois pas comment y arriver...
Et pour en revenir au polynôme, bonne question surement par réflexe par rapport à la notation P(n), mais effectivement, ça n'a rien à voir avec le problème...
On s'en fiche de E : c'est le plus grand élément de F, donc en particulier il est plus grand que donc
Pa ailleurs, la suite que l'on a construite est strictement croissante par construction, donc
Comme est une relation d'ordre, elle est antisymétrique et donc
, ce contredit la stricte croissance de la suite.
Kaiser
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