Bonsoir,

2)

On considere X et Y tels que
A inter X = A inter Y  et
AUX = AUY

On cherche alors a montrer que X = Y. On va montrer la double inclusion...

Soit x un element de X.

Deux cas:
Soit x est un element de A, et donc x appartient a A inter X = A inter Y, et necessairement x est un element de Y aussi (il est dans A et dans Y).
Soit x n'est pas un element de A, et alors x appartient a AUX = AUY, comme x n'est pas dans A c'est qu'il est dans Y..

Donc X inclus dans Y

Le role symetrique de X et Y assure que Y inclus dans X.


3) Si A est vide, la surjectivite est facile.
Reciproquement, si f est surjective, alors il existe un antecedent a (vide,vide) par f.
AUtrment dit un X tel que A inter X = vide et A U X = vide
Si A U X =vide, alors A est vide...


A+
biondo

si A est vide alors on a (vide, A) et pas (vide, vide) non?

Bonsoir khirok

Pour le 2), considérons deux ensembles X et Y tels que f(X)=f(Y).
Ainsi, AX=AY et AX=AY

Il faut montrer alors que X=Y.
On va procéder par double inclusion. Montrons que XY.
Soit xX
Alors xAX
donc xAY
1^er cas : si x est dans Y, c'est fini
2^e cas : si x est dans A, comme x est dans X, alors x est dans AX=AY, donc x est dans Y

Finalement XY.

Par symétrie, YX, d'où X=Y.

Pour le 3), on va procéder par double implication en démontrant le sens droite-gauche. Si A est vide, alors pour tout X, f(X)=(,X)

Comme A est vide, alors P(A)={}
Ainsi, tout élément de P(A)P(E) s'écrit (,X) avec XP(E), dont s'écrit (f(X) et f est alors surjective.

Maintenant, l'autre sens. Supposons f surjective, alors il existe X dans P(E) tel que (,)=(AX,AX). donc AX=, ce qui implique que A est vide et l'équivalence est démontrée.

Voilà

Kaiser
Donc E=AX

a la fin on me demande d'expliciter une application g définie de P(A) *P(E) dans P(E) telle que gof=Id

je ne trouve pas...

id, identité ?

l'application identité ?

Essaie l'application g définie par g(X,Y)=X(Y\A)

Kaiser