Bonjour!
notons f: E->F , g: F->G
si gof est surjective:
si z est un élément de G, soit x un antécédant de z par gof : gof(x) = z
mais alors g( f(x) ) = z
On a donc trouvé un antécédant de z par g: f(x)
Donc g est surjective

Pour la composée de 2 bijections, il faut faire le même raisonnement pour la surjectivité (prendre un élément dans l'ensemble d'arrivée, utiliser le fait que les fonctions sont bijectives, et trouver un antécédant dans l'ensemble de départ)
Pour l'injectivité:
f et g sont bijectives.
soient x et y 2 éléments différents de E, alors f(x) <> f(y) par injectivité et f. Et gof(x) <> gof(y) par injectivité de g.
Donc gof est injective.
Donc gof est bijective!

Bonjour,
soit P une fonction, P est bijective ssi il existe Q telle que QP=PQ=Id.

Si f (resp g) est bijective, alors il existe f' (resp g') telle que ff'=f'f=id et gg'=g'g=id
posons h=fg
f'h=g et donc (g'f')h=Id
De même
hg'f'=Id.
Donc en posant h'=g'f' on a bien que h=fg est inversible d'inverse h'=g'f'.

Bonjour;
Soient : : deux applications.
on sait que: surjective
or (l'autre inclusion étant acquise)
donc est surjective.

Merci beaucoup à tous pour votre aide

Bonsoir,
gf surjective équivaut si mes souvenirs sont bons à gf inversible à droite, c'est à dire qu'il existe h tel que
gfh=id
donc g(fh)=id et donc fh est l'inverse à droite de g, donc g est inversible à droite, donc surjective.

C'est parfois beaucoup plus pratique de raisonner en terme d'inverse algébrique, on se prend moins la tête
A+