Salut

La première méthode consiste à se demander quelles sont les parties de E.

En effet, finalement, l'ensemble des partie de E c'est l'ensemble des parties de E à 0 élément, l'ensemble des parties de E à 1 élément, l'ensemble des parties de E à 2 éléments etc...
Or, il y a parties de E à 0 élément, parties de E à 1 éléments etc...

Il s'ensuit que
Un petit coup de binôme de Newton :

Bonjour.

Considère l'ensemble (A) de toutes les applications de E vers {0,1}.

A tout élément f de (A) associe le sous-ensemble de E défini par f^-1(1).

En quelque sorte il s'agit de la fonction indicatrice.

A plus RR.

Salut tout le monde,

Autre méthode peu orthodoxe:

étant fini de cardinal n, on peut écrire que . Construire un sous ensemble de E revient à choisir ou pas un élément de E. C'est à dire: Je prend ou pas, je prend ou pas,... je prend ou pas.
On a 2 choix par élément, soit un total de .

Deuxième méthode :

Si on sait que :

L'idée est de trouver une bijection de sur à l'aide de la fonction caractéristique. Je te laisse voir ça.

:happy3:

Raymond m'a devancé sur cette méthode!

Bonjour Nightmare et 1 Schumi 1.

C'est quand même intéressant de voir toutes ces méthodes.

Nightmare : tu as utilisé le terme "fonction caractéristique" et moi j'ai parlé de "fonction indicatrice".

Rassure moi, les deux termes sont équivalents ?

A plus RR.

Oui raymond

On parle bien de la fonction

Ohh je m'attendais pas à autant de reponses !

Alors pour la 1ère méthode de Nightmare et 1 Schumi 1, c'est parfait, ça m'est totalement intuitif, merci beaucoup.

Pour la seconde méthode de Night et Raymond, là je comprend moins...

Si on sait que card(F^E)=[card(F)]^card(E)...
alors le cardinal de l'ensemble des applications de E dans F = card de F a la puissance E. (je traduit bêtement)

{0,1}^E est l'ensemble des applications de E dans F :

f(x)=1 si x appartient à F
f(x)=0 si x n'appartient pas à F

Et donc?

Merci désolé de paraitre un peu lourd mais j'ai besoin de comprendre

Bonjour

Voici encore une méthode: l'inévitable récurrence. C'est vrai pour n=0.

Soit E un ensemble ayant n+1 éléments. Soit a un élément et E' l'ensemble des autres (card E'=n). Considérons les parties de E qui contiennent a. Une telle partie est formée de a et d'une partie de E', il y en a donc card(E'). Les parties qui ne contiennent pas a sont tout simplement les parties de E', il y en a donc aussi card(P(E')). On a donc card(P(E))=2card(P(E')) et la récurrence est immédiate.

Quant à ta demande d'explication sur la méthode des fonctions caractéristiques (salut Nightmare et Raymond) c'est tout simplement le fait qu'une partie de E définit de manière unique une telle fonction. Donc P(E) a autant d'éléments que {0,1}^E.

je ne sais pas cmt montrer ces question pour tout n,k