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Ensembles, groupe, isométries

Posté par
SAKDOSS 17-11-05 à 17:08

Bonjour,
j'ai un UV de math demain et on vien de me dire que le prof avait la facheuse tendance a donner des types d'exos qu'on a pas encore résolu en TD (il parais qu'une fois il avait oublié l'UV et avais fait les enoncé le matin même ^^).

Donc j'ai quelques exos (que l'on a pas encore vue) que j'aimerais savoire résoudre pour demain ^^. Et j'ai aussi quelques questions bètes mais je voudrais être sur si vous voyez ce que je veux dire.


1ere question bète :
Dans un énoncé d'exo, il y a "Soit (G;+) un groupe Abélien,..." Abélien voulant dire comutatif, tout les groupes ayant comme loi interne + sont Abélien non ?
(je demande parce que l'énoncé est tourné bizarrement, soit je me trompe soit c'est pour nous faire utiliser le vocabulaire) Si je me trompe je veux bien un contre exemple.

En fait c'est tout pour les questions en ecrivant les autres j'ai trouvé mes réponses


Exercice 1:


Enoncé:
"Dans un groupe (G;x) (noté multiplicativement), soient x,y,z trois élements, on pose y" = xyx-1 et z"=xzx-1(normalement ce n'est pas y" mais y avec un accent bizarre au dessus j'ai pas trouvé donc je met y" ^^).

Calculer :
(xy)-1 ; y"z" ; (y")-1 ; et toutes les puissances de y" (càd (y")k, k)"

Je ne sais pas ce que j'ai le droit de faire ou pas. Le "noté multiplicativement" veut dire que c'est juste la notation et pas les propriétées de x ?


Les trois prochains exos sont sur les isométries (on en a parlé vite fait a la fin du dernier cour pendant que tt le monde sortait de l'amphi donc j'ai un peu de mal....). Je vous donne les enoncé sans ce que j'ai fait etant donné que je n'ai réussi a faire


Exo2:

Décrire aussi précisement qe possible le groupe des isométries d'un cercle, d'un carré, d'un triangle. Précisez à chaque fois la façon dont  les isométries se composent.


Exo3:

Décrire le groupe des isométries d'un pavage carré infini.


Exo4:

Une figure plane admet dans son sous groupe de symétries une translation. Que pouvez-vous dire de cette figure.



Voila merci d'avance à ceux qui auront le temps de m'aider les autres auront l'echec de mon UV sur la conscience

Posté par
franzre : Ensembles, groupe, isométries 17-11-05 à 21:18

Tous les groupes ne sont malheureusement pas abéliens.

Par exemple, si tu considères l'ensemble G_6 des isométries du plan qui laissent invariantes l'ensemble des sommets d'un triangle équilatéral ABC, ( O étant le centre de gravité de ABC orienté dans le sens trigonométrique), l'ensemble G_6 contient 6 éléments
\red \bullet e : l'identité du plan
\red \bullet r_1 : la rotation de centre O et d'angle \frac {2\pi} 3
\red \bullet r_2 : la rotation de centre O et d'angle -\frac {2\pi} 3
\red \bullet s_A : la symétrie orthogonale d'axe (OA)
\red \bullet s_B : la symétrie orthogonale d'axe (OB)
\red \bullet s_C : la symétrie orthogonale d'axe (OC)

G_6 muni de la loi de composition \circ est un groupe. Mais par exemple s_A\circ s_B = r_2 et s_B\circ s_A = r_1 donc ce groupe n'est pas commutatif.

Posté par
franzre : Ensembles, groupe, isométries 17-11-05 à 21:37

Exercice 1:


Enoncé:
"Dans un groupe (G;x) (noté multiplicativement), soient x,y,z trois élements, on pose y" = xyx-1 et z"=xzx-1(normalement ce n'est pas y" mais y avec un accent bizarre au dessus j'ai pas trouvé donc je met y" ^^).

Calculer :
a) \magenta(xy)^{-1} =y^{-1}x^{-1}  (vérifie en faisant le produit avec xy)

b) \red \bar y\, \bar z = (xyx^{-1})(xzx^{-1}) = \underbrace {(xy)(x^{-1}x)(zx^{-1})}_{\rm par associativite} = x(yz)x^{-1}

c) \magenta (\bar y)^{-1} =\(xyx^{-1}\)^{-1} = \underbrace{\(x^{-1}\)^{-1}(y)^{-1}(x^{-1})}_{\rm d'apres a)} = xy^{-1}x^{-1} = \bar {y^{-1}}

d) par récurrence (très rapide) \red \forall k \in {\mathbb Z}\;\;(\bar y)^{k} =\(xyx^{-1}\)^{k} = xy^{k}x^{-1} = \bar {y^{k}}
; y"z" ; (y")-1 ; et toutes les puissances de y" (càd (y")k, k)"

Posté par peej (invité)re : Ensembles, groupe, isométries 17-11-05 à 22:30

En fait, le + n'est qu'une notation, d'où peut-etre ta confusion. Il est vrai qu'en générant on note un groupe (G,+) que lorsqu'il est abélien, mais ce n'est pas une obligation (ce n'est que pour avoir une lecture plus intuitive). On pourrait noter l'opération interne ou encore ou $.

Donc il vaut qd mm mieux préciser que le groupe est bien abélien, d'autant plus que lorsqu'on note l'opération *, le groupe peut etre abélien ou non selon les cas.

Mais il est vrai que lorsqu'on note (G,+), tu as de très fortes chances que le groupe soit abélien

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Ensembles, groupe, isométries 18-11-05 à 02:44

Bonsoir;
4)
Soit 5$\scr F une figure plane (1$\scr F est tout simplement une partie non vide du plan affine euclidien 2$\scr P) et supposons que 5$\scr G_{1$\scr F} (le groupe des isométries de 5$\scr F) contienne une translation 3$\fbox{t_{\vec{u}}\\\vec{u}\neq\vec{0}} on a donc en particulier 3$\fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\\(t_{\vec{u}})^n=\underb{t_{\vec{u}}o..ot_{\vec{u}}}_{n\hspace{5}facteurs}=t_{n\vec{u}}\hspace{5}\in\scr G_{1$\scr F}} et ainsi si 3$A est un point quelconque de 3$\scr F on a que 3$\fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\\A_n=t_{n\vec{u}}(A)\in\scr F}
et comme 3$\fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\\\vec{AA_n}=n\vec{u}} on voit que 4$\fbox{diam(\scr F)\ge AA_n=||\vec{AA_n}||=n||\vec{u}||\{{\to+\infty\\n\to+\infty} (||\vec{u}||>0)
on conclut alors que:
5$\blue\fbox{\fbox{\scr F\hspace{5}est\hspace{5}non\hspace{5}bornee}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
SAKDOSSre : Ensembles, groupe, isométries 18-11-05 à 17:14

Merci pour vos réponses je comprend mieux maintenant.


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