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Entrainement bornes supérieures, inférieures

Posté par
infophile 18-11-07 à 20:43

Bonsoir

On vient de commencer les exos de bases sur les nombres réels, et j'aimerais savoir si ce que je fais est rigoureux. Car c'est tellement intuitif que des fois je ne sais pas comment l'écrire formellement.

Citation :
Soient 3$ \rm a et 3$ \rm b deux réels strictements positifs ; les parties suivantes sont-elles majorées, minorées ; si oui, quelles sont leurs bornes supérieures, inférieures ?

3$ \rm A=\{a+bn/n\in \mathbb{N}\} ; 3$ \rm B=\{a+b(-1)^n/n\in \mathbb{N}\} ; 3$ \rm C=\{a+\frac{b}{n}/n\in \mathbb{N}^{\ast}\}

3$ \rm D=\{(-1)^na+\frac{b}{n}/n\in \mathbb{N}^{\ast}\} ; 3$ \rm E=\{a+\frac{(-1)^nb}{n}/n\in \mathbb{N}^{\ast}\}


Commençons par le premier :

3$ \rm \clubsuit On a 3$ \rm \forall (b,n)\in \mathbb{R}^{+\ast}\times \mathbb{N}, bn\ge 0 donc 3$ \rm \forall (a,b)\in \mathbb{R}^{2+\ast}, a\le a+bn. Ainsi tout élément de 3$ \rm A est minoré par 3$ \rm a\in A donc 3$ \rm a=Min(A).

3$ \rm \clubsuit Montrons alors que 3$ \rm A n'est pas majoré : Soit 3$ \rm M un majorant de 3$ \rm A on aurait 3$ \rm a+bn\le M\Longleftright n\le \frac{M-a}{b}, absurde puisque 3$ \rm \mathbb{N} n'est pas majoré.

Si c'est bon je poste la suite, merci

Posté par
Nightmarere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:01

Salut Kevin

Pour montrer que A n'est ma majorée, on peut dire rapidement que la suite (a+bn)n diverge vers +oo ce qui suffit pour conclure.

Posté par
infophilere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:04

Salut Jord

C'est ce que je fais dans ma tête pour voir jusqu'où s'"étend" l'ensemble, mais comme on reprend toutes les propriétés des nombres réels j'ai essayé d'utiliser les outils à disposition.

Je poste la suite, merci

Posté par
Nightmarere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:05

Oui ce que tu as fait est bon aussi

Posté par
gui_toure : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:09

Salut Jord

En utilisant les suites, on arrive à répondre à tout l'exercice, non ?

Posté par
infophilere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:10

3$ \rm B=\{a+(-1)^nb/n\in \mathbb{N}\}

Je distingue deux cas :

3$ \rm \bullet Si 3$ \rm n\in 2\mathbb{N} alors 3$ \rm a+(-1)^nb=a+b

3$ \rm \bullet Si 3$ \rm n\in 2\mathbb{N}+1 alors 3$ \rm a+(-1)^nb=a-b

Ainsi 3$ \rm B ne contient que deux éléments : 3$ \rm B=\{a-b,a+b\}

Et puisque 3$ \rm (a,b)\in \mathbb{R}^{+\ast} on a 3$ \rm a-b<a+b donc 3$ \rm \{Min(B)=a-b\\Max(B)=a+b

C'est juste ?

PS : N'hésite pas à critiquer la rédaction.
PS2 : L'ensemble des entiers impairs s'écrit comment ?

Posté par
Nightmarere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:11

Oui en effet gui_tou, l'étude des suites permet de conclure rapidement pour l'exercice, mais après chacun utile l'outil qu'il veut

Posté par
gui_toure : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:12

Il vaut mieux dire : Ainsi  ne contient que deux éléments distincts.

Enfin je pense.

Posté par
Nightmarere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:12

Kevin, tu voulais surement écrire que inf B=a-b et sup B=a+b, sinon ce que tu as fait est bon

Posté par
infophilere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:14

Mais ici la borne supérieure/inférieure appartient à l'ensemble donc je peux écrire Min et Max non ?

Posté par
Nightmarere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:18

Oui oui bien sûr, mais vu qu'on te demande le sup et l'inf, autant les écrire.

Posté par
infophilere : Entrainement bornes supérieures, inférieures 18-11-07 à 21:24

Ok

J'ai un peu la flemme de rédiger les autres mais je trouve :

Min(C) = a ; Max(C) = a+b

Inf(D) = -a ; Max(D) = a+b

Min(E) = a-b ; Max(E) = a + b/2

Si c'est OK alors je poste un exo un peu moins inintéressant


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