Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Epreuve Polytechnique

Posté par MathCrack (invité) 31-07-05 à 00:18

Examen 1 ere année (Polytechnique Mons-belgique)
Soit (1) une équation telle que :
\Large(p,q) \in \mathbb{Z}^2 ,    \Large p^2-2q^2=1
On pose \quad\Large H= {\Large p+q\sqrt{2} / (p,q)\quad est solution de (1)   }
1. Montrer que:  \quad\Large p+q\sqrt{2} \in \large H \cap \Large ]1,{+\infty}[\Longleftrightarrow \Large (p,q) \in \mathbb{N}^{\ast}\times \mathbb{N}^{\ast}\quad et  \quad\Large(p,q)\quad est solution de (1)    
2.Montrer que: \quad\Large 3+2\sqrt{2}= Min(\large H \cap\Large ]1,{+\infty}[).
3.Montrer que: \quad\Large A= {\Large \ln{(u)}/u \in \large H \cap\Large ]0,{+\infty}[ } = \Large\ln{(3+2\sqrt{2})}.\mathbb{Z}
4.Montrer que: \quad\large H= {\Large(3+2\sqrt{2})^n / n\Large\in \mathbb{Z} } \large \cup { \Large -(3+2\sqrt{2})^n / n\Large\in \mathbb{Z} }
5.En déduire l'ensemble des solutions de (1) .

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 01:29

1.(\Longleftarrow) p+q\sqrt{2}\ge 1+\sqrt{2}>1
(\Longrightarrow) on a \{{p^2-2q^2=1\atop\ 1<p+q\sqrt{2} donc (p+q\sqrt{2})(p-q\sqrt{2})=1 et par suite 0<p-q\sqrt{2}<1 d'où :
\{{1<2p\atop\ p<1+q\sqrt{2} ce qui donne bien:
(p,q)\in\mathbb{N^{3$\star}\times N^{3$\star}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 01:44

2.il est clair que 3+2\sqrt{2}\in H\cap ]1,+\infty[ soit alors p+q\sqrt{2}\in H\cap ]1,+\infty[ on a p,q\ge 1(d'aprés 1.) et vu que
p^2=1+2q^2 on voit que p est impair de carré\ge 3 donc p\ge 3 et q\ge 2 ainsi:
p+q\sqrt{2}\ge 3+2\sqrt{2} on conclue que:
3+2\sqrt{2}=min(H\cap ]1,+\infty[)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 02:54

3.B=H\cap]0,+\infty[ est un sous groupe du groupe (]0,+\infty[,\times) en effet:
on a pour tout p+q\sqrt{2},r+s\sqrt{2}\in B
(p+q\sqrt{2})(r+s\sqrt{2})=(pr+2qs)+(ps+qr)\sqrt{2}\in B puisque (pr+2qs)^2-2(ps+qr)^2=(p^2-2q^2)(r^2-2s^2)=1\times1=1
et (p+q\sqrt{2})^{-1}=p-q\sqrt{2}\in B
l'application: x\to ln(x) étant un isomorphisme(croissant) du groupe (]0,+\infty[,\times) vers le groupe (]-\infty,+\infty[,+) on a que:
A=ln(B) est un sous groupe additif de \mathbb{R} qui n'est pas dense vu que H\cap]1,3+2\sqrt{2}[=\empty donc discrét:
A=a\mathbb{Z} avec a=min(A\cap]0,+\infty[)=ln(min(H\cap]1,+\infty[))=ln(3+2\sqrt{2})

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 04:10

4.Vu que: B=ln^{-1}(A) on a que:
H\cap]0,+\infty[=\{\(3+2\sqrt{2})^n/n\in\mathbb{Z}\} et donc que (en remarquant que H est stable par opposé):
H=\{\(3+2\sqrt{2})^n/n\in\mathbb{Z}\}\cup\{\ -(3+2\sqrt{2})^n/n\in\mathbb{Z}\}
5.Ainsi on peut écrire pour tout (p,q)\in{\mathbb{Z}}^2:
p^2-2q^2=1\Longleftrightarrow\exists n\in\mathbb{N}/p+q\sqrt{2}=ou\{{(3+2\sqrt{2})^n\\ (3-2\sqrt{2})^n\\-(3+2\sqrt{2})^n\\-(3-2\sqrt{2})^n
pour n=0,on retrouve (\pm 1,0)
pour n=1, (\pm 3,\pm 2)
por n=2,(\pm 17,\pm 12)
pour n qcq,(\pm p_n,\pm q_n)où:
\{{p_n=\Bigsum_{k=0}^{k=[\frac{n}{2}]}\(n\\2k\)8^{k}3^{n-2k}\\q_n=2\Bigsum_{k=0}^{k=[\frac{n-1}{2}]}\(n\\2k+1\)8^{k}3^{n-2k-1}
Voilà, j'espére que c'est bien ça

Posté par MathCrack (invité)re : Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 23:38

Bravo  elhor_abdelali , c'est bien démontré
tu es en quelle classe ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Epreuve Polytechnique 01-08-05 à 06:32

Bonjour MathCrack,merci pour cet exercice intéréssant.
je suis professeur agrégé de mathématiques(agrégation externe 1995)et comme j'enseigne dans un lycée j'essaye de m'entrainer pour rester(mathématiquement)en forme
où puis-je trouver l'épreuve compléte:Examen 1 ere année(Polytechnique Mons-belgique)?merci d'avance.

Posté par MathCrack (invité)re : Epreuve Polytechnique 01-08-05 à 21:00

bonjour elhor_abdelali, ravi Mr le prof , je ne crois pas que l'épreuve a été mise en ligne, mais je peux te l'envoyer si tu veux. ne me dis pas que tu vas proposer cet épreuve à tes èleves.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Epreuve Polytechnique 01-08-05 à 21:21

Bonjour MathCrack,non je ne ferais pas ça c'est pour moi histoire de mettre à jour son niveau.
je te donne mon E-mail:
*** et encore merci n'hésites pas à poster d'autres exercices.
amicalement, elhor abdélali

***edit jerome : adresse différente de celle mentionnée dans le profil***

Posté par MathCrack (invité)re : Epreuve Polytechnique 01-08-05 à 23:45

Bonsoir,
je vais proposé le reste de l'épreuve ici, comme ça tout le monde en profite
a++


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !