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Epreuve Polytechnique

Posté par MathCrack (invité) 31-07-05 à 00:18

Examen 1 ere année (Polytechnique Mons-belgique)
Soit (1) une équation telle que :
\Large(p,q) \in \mathbb{Z}^2 ,    \Large p^2-2q^2=1
On pose \quad\Large H= {\Large p+q\sqrt{2} / (p,q)\quad est solution de (1)   }
1. Montrer que:  \quad\Large p+q\sqrt{2} \in \large H \cap \Large ]1,{+\infty}[\Longleftrightarrow \Large (p,q) \in \mathbb{N}^{\ast}\times \mathbb{N}^{\ast}\quad et  \quad\Large(p,q)\quad est solution de (1)    
2.Montrer que: \quad\Large 3+2\sqrt{2}= Min(\large H \cap\Large ]1,{+\infty}[).
3.Montrer que: \quad\Large A= {\Large \ln{(u)}/u \in \large H \cap\Large ]0,{+\infty}[ } = \Large\ln{(3+2\sqrt{2})}.\mathbb{Z}
4.Montrer que: \quad\large H= {\Large(3+2\sqrt{2})^n / n\Large\in \mathbb{Z} } \large \cup { \Large -(3+2\sqrt{2})^n / n\Large\in \mathbb{Z} }
5.En déduire l'ensemble des solutions de (1) .

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 01:29

1.(\Longleftarrow) p+q\sqrt{2}\ge 1+\sqrt{2}>1
(\Longrightarrow) on a \{{p^2-2q^2=1\atop\ 1<p+q\sqrt{2} donc (p+q\sqrt{2})(p-q\sqrt{2})=1 et par suite 0<p-q\sqrt{2}<1 d'où :
\{{1<2p\atop\ p<1+q\sqrt{2} ce qui donne bien:
(p,q)\in\mathbb{N^{3$\star}\times N^{3$\star}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 01:44

2.il est clair que 3+2\sqrt{2}\in H\cap ]1,+\infty[ soit alors p+q\sqrt{2}\in H\cap ]1,+\infty[ on a p,q\ge 1(d'aprés 1.) et vu que
p^2=1+2q^2 on voit que p est impair de carré\ge 3 donc p\ge 3 et q\ge 2 ainsi:
p+q\sqrt{2}\ge 3+2\sqrt{2} on conclue que:
3+2\sqrt{2}=min(H\cap ]1,+\infty[)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 02:54

3.B=H\cap]0,+\infty[ est un sous groupe du groupe (]0,+\infty[,\times) en effet:
on a pour tout p+q\sqrt{2},r+s\sqrt{2}\in B
(p+q\sqrt{2})(r+s\sqrt{2})=(pr+2qs)+(ps+qr)\sqrt{2}\in B puisque (pr+2qs)^2-2(ps+qr)^2=(p^2-2q^2)(r^2-2s^2)=1\times1=1
et (p+q\sqrt{2})^{-1}=p-q\sqrt{2}\in B
l'application: x\to ln(x) étant un isomorphisme(croissant) du groupe (]0,+\infty[,\times) vers le groupe (]-\infty,+\infty[,+) on a que:
A=ln(B) est un sous groupe additif de \mathbb{R} qui n'est pas dense vu que H\cap]1,3+2\sqrt{2}[=\empty donc discrét:
A=a\mathbb{Z} avec a=min(A\cap]0,+\infty[)=ln(min(H\cap]1,+\infty[))=ln(3+2\sqrt{2})

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 04:10

4.Vu que: B=ln^{-1}(A) on a que:
H\cap]0,+\infty[=\{\(3+2\sqrt{2})^n/n\in\mathbb{Z}\} et donc que (en remarquant que H est stable par opposé):
H=\{\(3+2\sqrt{2})^n/n\in\mathbb{Z}\}\cup\{\ -(3+2\sqrt{2})^n/n\in\mathbb{Z}\}
5.Ainsi on peut écrire pour tout (p,q)\in{\mathbb{Z}}^2:
p^2-2q^2=1\Longleftrightarrow\exists n\in\mathbb{N}/p+q\sqrt{2}=ou\{{(3+2\sqrt{2})^n\\ (3-2\sqrt{2})^n\\-(3+2\sqrt{2})^n\\-(3-2\sqrt{2})^n
pour n=0,on retrouve (\pm 1,0)
pour n=1, (\pm 3,\pm 2)
por n=2,(\pm 17,\pm 12)
pour n qcq,(\pm p_n,\pm q_n)où:
\{{p_n=\Bigsum_{k=0}^{k=[\frac{n}{2}]}\(n\\2k\)8^{k}3^{n-2k}\\q_n=2\Bigsum_{k=0}^{k=[\frac{n-1}{2}]}\(n\\2k+1\)8^{k}3^{n-2k-1}
Voilà, j'espére que c'est bien ça

Posté par MathCrack (invité)re : Epreuve Polytechnique 31-07-05 à 23:38

Bravo  elhor_abdelali , c'est bien démontré
tu es en quelle classe ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Epreuve Polytechnique 01-08-05 à 06:32

Bonjour MathCrack,merci pour cet exercice intéréssant.
je suis professeur agrégé de mathématiques(agrégation externe 1995)et comme j'enseigne dans un lycée j'essaye de m'entrainer pour rester(mathématiquement)en forme
où puis-je trouver l'épreuve compléte:Examen 1 ere année(Polytechnique Mons-belgique)?merci d'avance.

Posté par MathCrack (invité)re : Epreuve Polytechnique 01-08-05 à 21:00

bonjour elhor_abdelali, ravi Mr le prof , je ne crois pas que l'épreuve a été mise en ligne, mais je peux te l'envoyer si tu veux. ne me dis pas que tu vas proposer cet épreuve à tes èleves.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Epreuve Polytechnique 01-08-05 à 21:21

Bonjour MathCrack,non je ne ferais pas ça c'est pour moi histoire de mettre à jour son niveau.
je te donne mon E-mail:
*** et encore merci n'hésites pas à poster d'autres exercices.
amicalement, elhor abdélali

***edit jerome : adresse différente de celle mentionnée dans le profil***

Posté par MathCrack (invité)re : Epreuve Polytechnique 01-08-05 à 23:45

Bonsoir,
je vais proposé le reste de l'épreuve ici, comme ça tout le monde en profite
a++


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