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eq differentielle

Posté par
pedro 04-12-05 à 09:51

bonjour voila dans un exo sur les quation differentielle on me di re resoudrte y'+y=exp(x) et ds ds la correction c marqué y0(x)=Cexp(-x)  puis solution particuliere y1(x)=0.5exp(x)  

puis la solution est de la forme y(x)=y0+y1=Cexp(-x)+0.5exp(x) je comprends pas comment ils ont trouver ses resultats  svp pourriez vous m'expliqué de maniere detailé la methode de resolution de cette equation merci d'avance

Posté par jerome (invité)re : eq differentielle 04-12-05 à 10:19

Salut,

Tu dois tout d'abord résoudre l'équation différentielle sans second membre
C'est a dire résoudre : y'+y=0

Ensuite si il ne t'est pas proposé de type de forme de solutions particulières tu doit faire la méthode de la variation de la constante pour trouver la soltuion particulière de ton equa diff.

A+

Posté par jerome (invité)re : eq differentielle 04-12-05 à 10:36

Allons-y

Alors la première partie sans second membre est immédiate y'=ay les fonctions solutions sont du type y_0(x)=C.e^{ax}
Ici :
y'=-y donc a=-1 tu déduis que y_0(x)=Ce^{-x}

Ensuite pour trouver la solution particulière on pose : C=C(x)

On obtient :y_a(x)=C(x).e^{-x}
On dérive : y_a'(x)=C'(x).e^{-x}-C(x).e^{-x}

On réinjecte dasn l'équation différentielle :
3$\rm y'a+ya=e^x\\C'(x).e^{-x}-C(x).e^{-x}+C(x).e^{-x}=e^x\\C'(x).e^{-x}=e^x\\C'(x)=\frac{e^x}{e^{-x}}\\C'(x)=e^x.e^x\\C'(x)=e^{2x}\\C(x)=\frac{1}{2}.e^{2x}

Retour a y_a(x) :
3$\rm y_a(x)=\frac{1}{2}.e^{2x}\times e^{-x}\\y_a(x)=\frac{1}{2}.e^x

Les solutions de l'équation sont les fonction du type :
5$\rm\red\fbox{y(x)=Ce^{-x}+\frac{1}{2}.e^x}


sauf distraction
A+

Posté par
pedrore : eq differentielle 04-12-05 à 17:12

er bonsoir tt d'abord merci bcp pour m'avoir detailé les calcule juste pour voir si g bien compris  g  vu une equation d'odre 1 avec second membre je les resolu mais je c pas si c bon pouriez vous me corrigé  merci d'avance

alors l'equation c'est y'+y=-1+exp(x)

et je trouve comme solution generale y(x)=Cexp(-x)+0.5exp(2x)-exp(x)   avec C réel est ce coorect ?

Posté par
pedrore : eq differentielle 04-12-05 à 17:28

euh non g  fé une erreur  la solution generale c'est y(x)=-1+0.5exp(x)+Cexp(-x) est ce exact ?


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