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équa dif difficile!

Posté par emmajuju (invité) 24-02-05 à 18:18

bonjour a tous! voilà mon problème du jour

on considere l'equa dif (E) y-y'= (e(x))/xcarré et on chercher l'esnemble des solutions de cette equation definies sur ]0;+inf[
1. a. démontrer que la fonction u définie sur ]0;+inf[ par u(x)=(e(x))/xcarré est solution de (E)
   b. demontrer qu'une fonction v definie sur ce moment intervalle si et seulement si la fonction v-u definie sur ce meme intervalle est sol de l'equa dif y-y'=0
   c. en deduire les solution definies sur ce meme intervalle de l'eqaution (E)
2. pour tout reel k negatif ou nul on considere la fonction fk definie sur ce meme intervalle par
       fk(x)=((kx+1)/x)*e(x)
   a. determiner les limites de f(k) en o et + inf
   b. calculer fk'(x) pour tout reel x de ]0;+inf[ et determiner le nb de solution sur ce meme intervalle de l'equation fk'(x)=0
voilà merci a tous
emma

Posté par
Nightmarere : équa dif difficile! 24-02-05 à 19:03

Bonjour

1)a. Dérives u , et montres que u(x)-u'(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}

2)b. Nous avons :
(v-u)'=v'-u'
donc
(v-u)-(v-u)'=v-v'-(u'-u)

Or , u'(x)-u(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}}

Donc autrement dit , si (v-u)-(v-u)'=0
alors
v-v'-\frac{e^{x}}{x^{2}}=0
donc
v-v'=\frac{e^{x}}{x^{2}}
c'est à dire v solution de (E)

Je te laisse conclure

2)On a
\lim_{x\to 0} kx+1=1
\lim_{x\to 0} e^{x}=1
et
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}=\infty
donc par produit :
\lim_{0} f_{k}=\infty

D'autre part :
f_{k}(x)=\frac{kxe^{x}+e^{x}}{x}
ie
f_{k}(x)=\frac{xe^{x}\(k+\frac{1}{x}\)}{x}
soit
f_{k}(x)=e^{x}\(k+\frac{1}{x}\)

Or
\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}=0
donc
\lim_{x\to +\infty} k+\frac{1}{x}=k

or , k est négatif et \lim_{x\to +\infty} e^{x}=+\infty
donc
\lim_{+\infty} f=-\infty

c) Nous avons : f_{k}(x)=ke^{x}+\frac{e^{x}}{x}
donc
f_{k}'(x)=ke^{x}+\frac{xe^{x}-e^{x}}{x^{2}}
soit
f_{k}'(x)=ke^{x}+\frac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}
donc
f_{k}'(x)=e^{x}\(k+\frac{(x-1)}{x^{2}}\)
ou encore :
f_{k}'(x)=e^{x}\(\frac{kx^{2}+x-1}{x^{2}}\)

On en déduit que f_{k}'(x) s'annule si et seulement si kx^{2}+x-1 s'annule .
Il ne te reste donc qu'a étudier le signe du discriminant de ce dernier trinôme en fonction de k (sachant que celui-ci est négatif)


Jord


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