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Equa Diff
Bonjouuuur !
Alors voilà, je suis sur un DM et je sèche à une question,
"Montrer que g est solution de (E') si, et seulement si, g-f est solution de (E). Resoudre (E').
(E) => 2y'+y=o
(E') => 2y'+y=e-x/2(x+1)
Grace au questions précédentes j'ai trouvé que f(x)=e-x/2(1/4x²+1/2x).
Je suis bloqué pour résoudre (E') car,
g solution de (E') <=> (g-f) solution de (E)
<=> g(x)-f(x)=ke-x/2
<=> g(x)=ke-x/2+f(x)
<=> g(x)=ke-x/2+e-x/2(1/4x²+1/2x)
<=> g(x)=e-x/2(1/4x²+1/2x+k)
Je pensais faire une identification pour déterminer le k, mais je pense que je suis allé dans un mauvais chemin .. Et je sais pas comment faire pour me rediriger.
Bonjour, il faut démontrer la propriété dans les deux sens :
Si g est solution de (E') 
2g'+g=e-x/2(x+1) mais tu sais que f est une solution particulière de (E') donc on a aussi 2f'+f=e-x/2(x+1)
Si on fait la différence de es deux équations ça donne 2g'+g-(2f'+f)=0 2(g-f)'-(g-f)=0 ce qui prouve que g-f est bien solution de (E)
Inversement, si g-f est solution de (E) 2(g-f)'+(g-f)=0 2g'+g=2f'+f mais on sait que 2f'+f=e-x/2(x+1) donc ça donne 2g'+g=e-x/2(x+1) qui montre que (g) est bien solution de (E')
Et donc tu as démontré un théorème très utile :
la solution générale d'une équation différentielle avec second membre est égale à la solution de l'équation différentielle sans second membre (appelée équation homogène) plus une solution particulière de l'équation avec second membre.
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