salut

est-il demandé de déterminer les solutions ?

montrer que :

1/ cette équation admet des solutions maximales (au moins une) ...
2/ ces solutions sont T-périodiques
3/ ces solutions sont une seule solution

Non, je vous ai recopié l'énoncé entier de l'exercice, le fait que cette question soit ouverte rend la chose moins accessible je pense

Et je ne comprend pas bien ce que vous entendez par « solutions maximales » ? Pouvez vous m'expliquer s'il vous plaît

Bonjour,

Commence par montrer que s'il existe deux solutions T-périodiques distinctes on aboutit à une contradiction.

Merci @boninmi pour l'idée mais je ne vois pas du tout comment montrer ça. Une piste ?

Mon prof m'a dit que j'étais bien parti en résolvant l'equa diff homogène associé et en tentant de trouver une solution particulière de cette équation avec la méthode de variation de la constante mais je n'arrive pas à avancer

Si tu as deux solutions distinctes, leur différence est solution de l'équation homogène. Cette différence doit être elle même périodique.

Si je dit que la différence des deux fonctions T-periodique est T-periodique et est sol de l'équation homogène et que dans l'ensemble des solutions de l'équation homogène la seule fonction T-periodique est la fonction nulle, j'ai démontré le fait que les deux fonctions T-périodique de base étaient en fait identique et donc que cette solution est unique ?

Oui. Si tu as bien justifié que la seule fonction T-periodique solution de l'équation homogène est la solution nulle (unicité).
Ensuite il s'agit de montrer que l'équation de départ a bien une solution T-périodique (existence).
En fait si tu as résolu l'équation par la méthode de variation de la constante, tu as dû trouver cette solution au moyen d'une intégrale avec une constante qui intervient. Il te reste à exprimer que cette solution est périodique, ce qui déterminera la constante (et en fait démontrera aussi de nouveau l'unicité).
Il y a un peu de travail sur les intégrales, il faut utiliser la périodicité de f et les changements de variables dans les intégrales.

En effet il y a du travail, je ne vois pas du tout comment trouver une primitive de la fonction qui a t associe f(t) e^at
(J'arrive à ca avec la variation de la contante, une solution particulière  serait la fonction qui a t associe cette primitive*e^-at
Donc cette primitive/e^at

Tu exprimes la primitive sous la forme d'une intégrale de 0 à t
f(u)e^audu
Puis tu exprimes que y(t+T) = y(t) .
Avec des changements de variables dans les intégrales, au bout du compte la variable t s'élimine et tu peux calculer de façon unique la constante qui est en cause au moyen de la même intégrale entre 0 et T qui lui est connu.

... l'intégrale que j'ai écrite est une primitive, on ajoute la constante C pour avoir toutes les primitives, C est à calculer pour que y(t) soit T-périodique.

Merci, cependant je ne comprend pas comment faire pour éliminer la variable t quand j'ai mon intégrale de 0 à t+T puis ensuite une fois que nous avons l'intégrale de 0 à T je ne comprend pas bien comment calculer la constante qu'il faut

Tu explicites y(t+T) = y(t)
L'intégrale de 0 à t+T provenant du premier membre est la somme de l'intégrale de 0 à T et de l'intégrale de T à t+T.
L'intégrale de 0 à T est une constante (même si on ne sait pas l'exprimer autrement).
Par une manipulation simple de variable d'intégration et en utilisant la T-périodicité de f, l'intégrale de T à t+T se ramène à une intégrale de 0 à t qui s'élimine avec celle qui apparaît au second membre.
Au final ne reste plus qu'une expression du premier degré en C avec des coefficients "connus" .

Bonjour,

Pour le moment, Prepasss n'a pas écrit ce qu'il a trouvé mais réponds avec des phrases seulement.

Bonjour, j'explicite mes résultats dans chaque message, comme quand je dit qu'elle primitive le pause problème par exemple je ne vois pas l'utilité du reste de ma rédaction dans ce cas là, je n'ai d'ailleurs pas encore rédige l'exercice car il n'est pas encore résolu

Et merci boninmi je vais essayer ce soir avec votre aide je reviens vers vous si j'ai de nouveaux problèmes