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Equa.diff et Esp.Vectoriel
Bonjour,
Voici mon problème :
On définit phi l'application qui va de dans lui même et qui a une fonction associe sa dérivée.
F est l'ensemble ;
E le sous espace vectoriel de F des fonctions x-> p(x)*sin(x)+q(x)*cos(x) où p et q sont des pol. de degrés inférieurs ou égaux à 1)
D la restriction de phi à D.
On a montré que D^4+D^2+Identité(de E) est l'application nulle.
On a montré que les solutions (sur F) de y''+y=0 sont les fonctions : x-> a*sin(x)+b*cos(x) où a et b sont des constantes réelles.
Maintenant on veut trouver le noyau de (phi + Identité (de F))^2 est E.
Je sens bien que tout ce qu'on a fait va nous servir mais je me demande comment.
J'ai l'impression qu'on peut dire qu'une solution est de la forme x-> a*sin(x)+b*cos(x) (mais par morceaux vu le produit) mais je ne sais pas si c'est totalement exact et en quoi ca va servir.
Merci de votre aide.
A plus 
et dernier petit détail, tu peux reformuler correctement stp la question : "Maintenant on veut trouver le noyau de (phi + Identité (de F))^2 est E."
Encore une faute : il fallait lire :
Maintenant on veut prouver que le noyau de (phi + Identité (de F))^2 est E
commence par te donner un élément de f, tu aboutis à l'equa diff :
f" + 2 f' + f = 0 ... ensuite que peux tu faire ?
Désolé je me suis encore trompé!!!
C'était "maintenant on veut trouver le noyau de (phi^2 + Identité (de F))^2 est E
grrrr !!
Bon allez c'est à toi, fixe toi un élément de F, et dis moi ce que donne (Phi^2 + Id(F))^2(f)... ?
Ben si on considère les choses sur l'ensemble E j'y arrive car on l'a déjà résolu mais en dehors de cette ensemble je ne sais pas.
justement je crois que tu as dû faire une troisième erreur :"D^4+D^2+Identité(de E) " il n'ya pas un deux qui manque ?
hmmmm, disons qu'ensuite c'est pas très évident...
en fait, si tu t'inspirais de la démonstrations d'une equa diff du deuxième ordre, quel est la dimension de ces solutions ?
De même pour ici quel serait la dimension des solution de notre equation diff d'ordre 4 ? Que peux tu en déduire ?
non, si tu prends les solutions d'une equation différentielle du second ordre, elle est "générée" par soit cos ou sin, ou exponentielle, ...
ces solutions sont généré par des bases de deux dimensions ... ici à ton avis quel serait la dimension ?
Bonjour, clemclem.
On cherche donc à résoudre:
(D^2+Id)^2(f)=0
L'équation revient à résoudre:
g=(D^2+Id)(f) (D^2+Id)(g)=0
donc à résoudre:
f"+f=g g"+g=0
ce qui nous donne
g(x) = a sin(x) + b cos(x) f"+f=g
Je pense que tu n'auras pas de mal à terminer
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