Bonjour, Si on veut montrer que deux choses sont équivalentes, il faut soit procéder par équivalences (et donc démontrer les deux sens à la fois) soit la démontrer dans un sens puis dans le sens inverse. Oui c'est obligatoire à cause du "si et seulement si".

Comment peut-on montrer l'équivalence ?

Généralement ce genre d'exo a cette tête la :
f solution de (E) ssi g solution de (E')

pour montrer le ssi, on fait en 2 étapes :
on suppose que f solution de (E), et on montre que g est solution de (E')

ensuite, on suppose que g est solution de (E'), et on montre qu'alors f est solution de (E)

Ainsi, on a notre équivalence (les 2 sens sont obligatoires)

Apres on peut certes raisonner par équivalences mais c'est plus compliqué a mettre en place..

il faudrait des cas concrets car te répondre sur une question aussi générale, ça n'est pas facile.

Voila le cas très concret :
Soit (E) l'équation différentielle y'=-3y+4e^-2x
1) Déterminer le réel tel que la fonction g est définie par g(x) = e^-2x soit solution de (E)
2) Montrer qu'une fonction f est solution de (E) ssi la fonction h=f-g est solution de (E') : y'=-3y
3) Résoudre (E')
4) En déduire les solutions de(E)

Mes réponses :
1) J'ai trouvé que =4
2) je ne sais pas comment faire ...

Merci

Il faut donc démontrer dans les deux sens.
Si f est solution de (E) f'=-3f+4e^2x
on sait aussi que g est solution de (E) g'=-3g+4e^2x
En soustrayant ces deux égalités membre à membre (f'-g')=-3(f-g) h'=-3h h est solution de (E')

Et donc l'inverse est très facile à montrer aussi :
h est solution (f'-g')=-3(f-g) f'=-3f + g'+3g
mais g est solution de (E) g'=-3g+4e^2x g'+3g=4e^2x donc en remplacant
f'=-3f+4e^2x f solution de (E)